《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

2.把二次根式$\sqrt{23-a}$与$\sqrt{8}$分别化成最简二次根式后，被开方数相同。
(1)如果$a$是正整数，那么符合条件的$a$有哪些？
(2)如果$a$是整数，那么符合条件的$a$有多少个？最大值是什么？有没有最小值？

答案：
(1)
首先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，最简二次根式被开方数为$2$。
因为$\sqrt{23 - a}$与$\sqrt{8}$化成最简二次根式后被开方数相同，所以$23 - a = 2k^{2}$，$k$为整数且$k\gt0$，同时$23 - a\geq0$。
当$k = 1$时，$23 - a = 2×1^{2}=2$，解得$a = 21$；
当$k = 2$时，$23 - a = 2×2^{2}=8$，解得$a = 15$；
当$k = 3$时，$23 - a = 2×3^{2}=18$，解得$a = 5$；
当$k\geq4$时，$23 - a = 2k^{2}\geq32$，则$a\leq - 9$，又因为$a$是正整数，所以这种情况舍去。
符合条件的$a$有$21$，$15$，$5$。
(2)
由$23 - a = 2k^{2}$，$k$为整数且$k\neq0$，$23 - a\geq0$，可得$a = 23 - 2k^{2}$。
因为$2k^{2}\geq2$，$a = 23 - 2k^{2}\leq21$，且$23 - a = 2k^{2}\geq0$，$k$取非零整数。
$k$可以取$\pm1$，$\pm2$，$\pm3$，$\cdots$，当$k$取遍所有非零整数时，$a$有无数个。
当$k = \pm1$时，$a = 23 - 2×1^{2}=21$，$a$的最大值是$21$。
因为$23 - a = 2k^{2}\geq0$，所以$a\leq23$，当$\vert k\vert$无限大时，$a = 23 - 2k^{2}$无限小，所以$a$没有最小值。
符合条件的$a$有无数个，最大值是$21$，没有最小值。

已知$A=5\sqrt{2x+1}$,$B=3\sqrt{x+3}$,$C=\sqrt{10x+3y}$,其中$A,B$为最简二次根式，且$A+B=C$，求$\sqrt{2y-x^{2}}$的值。

答案： 14