《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

如图 1 - 1，已知长方体的长 $ AC = 2 $，宽 $ BC = 1 $，高 $ AA' = 4 $。一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点 $ A $ 爬到点 $ B' $，那么它爬行的最短路程是多少？

【理解问题】
(1) 在这个问题中，已知条件有哪些？
(2) 蚂蚁沿表面爬行的最短路线可能有几条？请你用长方体实际感受一下。
【拟订计划】
(1) 利用勾股定理解决最短路线问题的依据是什么？
(2) 解决最短路线问题的一般步骤是什么？
【实施计划】
(1) 画出长方体表面的展开图的形状，以及与长方体的对应关系。
(2) 在图中标出点 $ A $，$ B' $ 的位置。
(3) 在图中确定 $ A $，$ B' $ 两点之间最短的路线，并计算它的长度。
【回顾反思】
对长方体来说，一般情况下，长、宽、高不相等，展开方式不同，得到的两个定点之间的距离也不相同，故应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短路程。

答案：
【理解问题】
(1)$AC=2$,$BC=1$,$AA'=4$
(2)蚂蚁沿表面爬行的最短路线可能有3条
【拟订计划】
(1)两点之间线段最短
(2)①展:把立体图形表面展开成一个平面图形
②找:寻找各种行走的路线 ③算:计算各种路线的长度 ④比:比较各种路线的长度
【实施计划】
(1)
(2)如图①②③所示,连接$AB'$

(3)根据题意,爬行的路线有以下三种情况:
①爬行路线经过$CC'$上一点,如图①,
$AB'^2=AB^2+BB'^2=(2+1)^2+4^2=9+16=25$;
②爬行路线经过$A'C'$上一点,如图②,
$AB'^2=AC^2+B'C^2=2^2+(4+1)^2=4+25=29$;
③爬行路线经过$D'A'$上一点,如图③,
$AB'^2=AD^2+B'D^2=1^2+(4+2)^2=1+36=37$。
综上所述,沿如图①所示的路线爬行,路程最短,此时$AB'=5$,即最短路程是5