《2025年新课程同步学案八年级数学上册北师大版》

3. 在平面直角坐标系中，直线 $ l_1 $ 经过点 $ (2,3) $ 和 $ (-1,-3) $，直线 $ l_2 $ 经过原点，且与直线 $ l_1 $ 交于点 $ (-2,a) $。
(1) 求 $ a $ 的值。
(2) $ \begin{cases} x = -2, \\ y = a \end{cases} $ 是哪个二元一次方程组的解？
(3) 设直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 交点为 $ P $，直线 $ l_1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，请你求出 $ \triangle APO $ 的面积。

答案： 3.
(1)设直线$l_{1}$对应的函数表达式为$y=kx+b$,把$(2,3),(-1,-3)$分别代入,得$\begin{cases}2k+b=3, \\ -k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2, \\ b=-1,\end{cases}$所以直线$l_{1}$对应的函数表达式为$y=2x-1$。当$x=-2$时,$y=-4-1=-5$,即$a=-5$
(2)设直线$l_{2}$对应的函数表达式为$y=k'x$,把$(-2,-5)$代入,得$-5=-2k'$,解得$k'=\frac{5}{2}$,所以直线$l_{2}$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{2}x$。所以$\begin{cases}x=-2, \\ y=a\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}y=2x-1, \\ y=\frac{5}{2}x\end{cases}$的解
(3)把$x=0$代入$y=2x-1$,得$y=-1$。所以点$A$的坐标为$(0,-1)$。因为点$P$的坐标为$(-2,-5)$,所以$S_{\triangle APO}=\frac{1}{2}×1×2=1$

如图，在平面直角坐标系中，直线 $ AB $ 交坐标轴于点 $ A(0,6) $， $ B(8,0) $，点 $ C $ 为 $ x $ 轴正半轴上一点，连接 $ AC $，将 $ \triangle ABC $ 沿 $ AC $ 所在的直线折叠，点 $ B $ 恰好与 $ y $ 轴上的点 $ D $ 重合。
(1) 求直线 $ AB $ 所对应的函数表达式；
(2) 已知 $ P $ 为直线 $ AB $ 上的一点， $ S_{\triangle COP} = \frac{9}{4} $，求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)设直线$AB$所对应的函数表达式为$y=kx+b$。因为直线$AB$交坐标轴于点$A(0,6),B(8,0)$,所以$\begin{cases}b=6, \\ 8k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}, \\ b=6,\end{cases}$所以直线$AB$所对应的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$
(2)由题意,可知$OA=6,OB=8$。在$Rt\triangle ABO$中,由勾股定理,得$AB=10$。由折叠性质,可知$AD=AB=10$,所以$OD=4$。设$OC=x$,则$CD=BC=8-x$。在$Rt\triangle OCD$中,由勾股定理,得$x^{2}+16=(8-x)^{2}$。解得$x=3$,所以$C(3,0)$。因为点$P$在直线$AB$上,所以设点$P$的坐标为$\left(m,-\frac{3}{4}m+6\right)$。因为$S_{\triangle COP}=\frac{9}{4}$,所以$\frac{1}{2}×3×\left|-\frac{3}{4}m+6\right|=\frac{9}{4}$。解得$m=6$或$m=10$。①当$m=6$时,$-\frac{3}{4}m+6=\frac{3}{2}$;②当$m=10$时,$-\frac{3}{4}m+6=-\frac{3}{2}$。所以点$P$的坐标为$\left(6,\frac{3}{2}\right)$或$\left(10,-\frac{3}{2}\right)$