《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

压轴1 勾股定理与其他几何知识的综合
例1
如图3-8,在△ABC中,∠ABC= 45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE= ∠CBE。

(1)线段BH与AC是否相等？请说明理由。
(2)求证：BG^2-GE^2= EA^2。
(3)若BC^2= 8,求△BDH的面积。(参考数据：2.8^2≈8)
 

答案： 【解析】：
(1)题目要求判断线段BH与AC是否相等，需要通过三角形全等来证明。
已知条件包括直角、45度角以及垂直平分线的性质。
利用ASA（角-边-角）全等条件，证明△DBH≌△DCA。
从而得出BH=AC。
(2)题目要求证明BG²-GE²=EA²，需要通过连接CG并利用勾股定理。
已知条件包括F为BC中点，DF垂直平分BC，以及∠ABE=∠CBE。
利用垂直平分线的性质，得出BG=CG。
利用勾股定理在Rt△CGE中，得出CG²-GE²=CE²。
由于CE=EA，BG=CG，所以BG²-GE²=EA²。
(3)题目要求求△BDH的面积，需要通过已知条件BC²=8以及△BDC是等腰直角三角形来求解。
利用勾股定理在Rt△BDC中，得出BC²=BD²+CD²=2CD²=8，所以CD=BD=2。
利用AD=AB-BD≈2.8-2=0.8。
由于△DBH≌△DCA，所以△BDH的面积为$\frac{1}{2}$AD·CD=$\frac{1}{2}$×0.8×2=0.8。
【答案】：
(1)BH=AC。理由如下：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEA=∠BEC=∠CDA=∠CDB=90°。
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC，
∴DB=DC。
∵∠BEA=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD。
在△DBH和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BDH=∠CDA,\\DB=DC,\\∠HBD=∠ACD.\end{array}\right.$
∴△DBH≌△DCA(ASA)，
∴BH=AC。
(2)证明：
连接CG。
由
(1)知，DB=DC，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG。
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴CE=EA。
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG²-GE²=CE²，
∵CE=EA，BG=CG，
∴BG²-GE²=EA²。
(3)
∵∠CDB=90°，∠ABC=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形。
∵BC²=8，由勾股定理得BC²=BD²+CD²=2CD²=8，
∴CD=BD=2，
∴AD=AB-BD≈2.8-2=0.8。
∵△DBH≌△DCA，
∴$S_{\triangle BDH}=S_{\triangle DCA}=\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}×0.8×2=0.8$。

压轴2 勾股定理在动点问题中的应用
例2
如图3-9,已知在△ABC中,∠B= 90°,AB= 16cm,BC= 12cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t s。

(1)出发2s后,求PQ^2的值。
(2)当点Q在边BC上运动时,出发多少秒后,△PQB能成为等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间。
 

答案：
(1)解：出发2秒后，BQ=2×2=4(cm)，AP=1×2=2(cm)，则BP=AB-AP=16-2=14(cm)。
在Rt△PQB中，∠B=90°，由勾股定理得：
PQ²=BP²+BQ²=14²+4²=196+16=212。
(2)解：当点Q在BC上运动时，BQ=2t，BP=AB-AP=16-t。
∵△PQB为等腰三角形且∠B=90°，
∴BQ=BP，即2t=16-t，
解得t=16/3。
答：出发16/3秒后，△PQB为等腰三角形。
(3)解：在Rt△ABC中，AC=√(AB²+BC²)=√(16²+12²)=20(cm)。
当点Q在CA上运动时，CQ=2t-BC=2t-12（t≥6）。
分三种情况：
①当CQ=BQ时，∠C=∠CBQ。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABQ=90°-∠CBQ=90°-∠C=∠A，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=1/2AC=10(cm)，
则2t=BC+CQ=12+10=22，解得t=11。
②当CQ=BC时，CQ=12cm，
则2t=BC+CQ=12+12=24，解得t=12。
③当BC=BQ时，过B作BE⊥AC于E，
S△ABC=1/2AB·BC=1/2AC·BE，得BE=(16×12)/20=48/5(cm)。
在Rt△BCE中，CE=√(BC²-BE²)=√(12²-(48/5)²)=36/5(cm)，
∴CQ=2CE=72/5=14.4(cm)，
则2t=BC+CQ=12+14.4=26.4，解得t=13.2。
综上，t=11s或12s或13.2s。
答：运动时间为11s、12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形。