《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3
已知$\triangle ABC$三边的长分别为x,y,z,且满足$(x-3)^{2}+\sqrt{y-4}+|z-5|= 0$,试求$\triangle ABC$的周长。
 

答案： 【解析】：
本题主要考查了平方根、算术平方根和绝对值的非负性以及三角形周长的计算。
首先，由于平方根、算术平方根和绝对值都是非负的，所以要使$(x-3)^{2}+\sqrt{y-4}+|z-5|= 0$成立，每一项都必须为0。
即，$(x-3)^{2}= 0$，$\sqrt{y-4}= 0$，$|z-5|= 0$。
解这三个方程，我们可以得到$x$，$y$，$z$的值。
最后，将$x$，$y$，$z$的值代入，即可求出三角形的周长。
【答案】：
解：
∵$(x-3)^{2}\geq0$，$\sqrt{y-4}\geq0$，$|z-5|\geq0$，且$(x-3)^{2}+\sqrt{y-4}+|z-5|= 0$，
∴$(x-3)^{2}= 0$，$\sqrt{y-4}= 0$，$|z-5|= 0$，
解得：$x= 3$，$y= 4$，$z= 5$，
∴$\triangle ABC$的周长为$3+4+5= 12$。

例4
解方程。
(1)$2x^{2}= 50$;(2)$4x^{2}-12= 0$;(3)$48-3(x-2)^{2}= 0$。
 

答案： 【解析】：
本题考查的是平方根的定义及解一元二次方程的能力。
对于形如$ax^2 = c$的方程，可以通过除以c的系数，再开平方来求解。
对于形如$a(x-h)^2 = c$的方程，可以先移项并除以a，再开平方，最后解一元一次方程来求解。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $2x^{2} = 50$，
两边同时除以2，得 $x^{2} = 25$，
开平方，得 $x = \pm 5$。
(2) 解：
原方程为 $4x^{2} - 12 = 0$，
移项，得 $4x^{2} = 12$，
两边同时除以4，得 $x^{2} = 3$，
开平方，得 $x = \pm \sqrt{3}$。
(3) 解：
原方程为 $48 - 3(x-2)^{2} = 0$，
移项，得 $3(x-2)^{2} = 48$，
两边同时除以3，得 $(x-2)^{2} = 16$，
开平方，得 $x-2 = \pm 4$，
解一元一次方程，得 $x = 6$ 或 $x = -2$。

变式3 见答案P170
若a,b,c满足$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}= \sqrt{c-3}+\sqrt{3-c}$。
(1)求a,b,c的值;
(2)若满足上式的a,c为等腰三角形的两边长,求这个等腰三角形的周长。

答案： 解:
(1)由题意可得$c-3\geq0,3-c\geq0$,解得$c=3$,所以$|a- \sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$,则$a=\sqrt{2},b=2$。
(2)当$a$是腰长,$c$是底边长时,等腰三角形的腰长之和为$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＜3$,不能构成三角形,所以$a$不能为腰长;
当$c$是腰长,$a$是底边长时,能构成三角形,故等腰三角形的周长为$\sqrt{2}+3+3=\sqrt{2}+6$。
综上,这个等腰三角形的周长为$\sqrt{2}+6$。

变式4 见答案P170
解方程。
(1)$361(1-x)^{2}= 16$;(2)$16x^{2}-6\frac{1}{4}= 0$。

答案： 解:
(1)两边同时除以361,得$(1-x)^{2}=\frac{16}{361}$,
开平方,得$1-x=\pm \frac{4}{19}$,
解得$x=\frac{23}{19}$或$x=\frac{15}{19}$。
(2)移项,得$16x^{2}=\frac{25}{4}$,
两边同时除以16,得$x^{2}=\frac{25}{64}$,
所以$x=\pm \frac{5}{8}$。