《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1-1
如图1-1,在四边形ABCD中,∠B+∠D= 180°,AB= AD,E,F分别是线段BC,CD上的点,且BE+FD= EF,求证:∠EAF= 1/2∠BAD。

 
 
 

答案：
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【解析】：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等式的性质。
先根据旋转的性质得到AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF。
再利用∠ABE+∠D=180∘得到A，B，G三点共线，然后利用“SSS”证明△AEG≅△AEF，得到∠EAG=∠EAF，
最后根据等式的性质即可得到结论。
【答案】：证明：
如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD与AB重合，AF与AG重合。

∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF。

∵∠ABE+∠D=180∘，

∴∠ABE+∠ABG=180∘，

∴点G，B，C共线。

∵BE+FD=EF，

∴BE+BG=GE=EF。
在△AEG和△AEF中，
{AG=AFAE=AEEG=EF​

∴△AEG≅△AEF(SSS)，

∴∠EAG=∠EAF。

∵∠BAG=∠DAF，

∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，

∴∠EAF=21​∠BAD。

例1-2
如图1-3,已知AC//BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,求证:AB= AC+BD。

 

答案： 【解析】：
本题主要考查全等三角形的判定与性质以及平行线的性质。
方法一（截长法）：
1. 首先，在线段$AB$上截取$AF = AC$，连接$EF$。
2. 因为$AE$，$BE$分别平分$\angle CAB$和$\angle DBA$，所以$\angle1=\angle2$，$\angle3=\angle4$。
3. 在$\triangle ACE$和$\triangle AFE$中，$AC = AF$，$\angle1=\angle2$，$AE = AE$，根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ACE\cong\triangle AFE$，所以$\angle C=\angle5$。
4. 由于$AC// BD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle C+\angle D = 180^{\circ}$。
5. 又因为$\angle5+\angle6 = 180^{\circ}$，所以$\angle6=\angle D$。
6. 在$\triangle EFB$和$\triangle EDB$中，$\angle6=\angle D$，$\angle3=\angle4$，$BE = BE$，根据$AAS$（角角边）判定定理，可得$\triangle EFB\cong\triangle EDB$，所以$FB = DB$。
7. 最后，$AB=AF + FB=AC + DB$，即$AB = AC + BD$。
方法二（补短法）：
1. 延长$AC$至点$F$，使$AF = AB$，连接$EF$。
2. 因为$AE$，$BE$分别平分$\angle CAB$和$\angle DBA$，所以$\angle1=\angle2$，$\angle3=\angle4$。
3. 在$\triangle AEF$和$\triangle AEB$中，$AF = AB$，$\angle1=\angle2$，$AE = AE$，根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle AEF\cong\triangle AEB$，所以$EF = EB$，$\angle F=\angle3$。
4. 因为$\angle3=\angle4$，所以$\angle F=\angle4$。
5. 由于$AC// BD$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle FCE=\angle D$。
6. 在$\triangle CEF$和$\triangle DEB$中，$\angle F=\angle4$，$\angle FCE=\angle D$，$EF = EB$，根据$AAS$（角角边）判定定理，可得$\triangle CEF\cong\triangle DEB$，所以$CF = DB$。
7. 因为$AB = AF=AC + CF$，所以$AB = AC + BD$。
【答案】：
证明过程如上述解析所示，通过截长法和补短法分别证明了$AB = AC + BD$。