《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
如图1-5-8,在△ABC中,AB= AC= BC,点D,E,F分别在BC,AB,CA边的延长线上,且BE= AF= CD。求证：△DEF是等边三角形。
 

答案： 【解析】：本题考查等边三角形和全等三角形的判定与性质。首先根据给定条件推出△ABC为等边三角形，进而得出三个外角都为120°。然后利用边角关系证明△AEF和△BDE全等，得出EF=DE。同理，证明△AEF和△CFD全等，得出EF=FD。最后根据等边三角形的定义，得出△DEF是等边三角形。
【答案】：证明：
∵$AB=AC=BC$，
∴$\bigtriangleup ABC$为等边三角形，
∴$\angle BAC=\angle ABC=\angle ACB=60^\circ$，
∴$\angle EAF=\angle DBE=\angle FCD=120^\circ$。
∵$BE=CD$，
∴$BE+AB=CD+BC$，即$AE=BD$。
在$\bigtriangleup AEF$和$\bigtriangleup BDE$中,
$\left\{\begin{array}{l}AF=BE,\\\angle EAF=\angle DBE,\\AE=BD.\end{array}\right.$
∴$\bigtriangleup AEF\cong\bigtriangleup BDE(SAS)$，
∴$EF=DE$。
同理可得$\bigtriangleup AEF\cong\bigtriangleup CFD$，
∴$EF=FD$，
∴$EF=DE=FD$，
∴$\bigtriangleup DEF$是等边三角形。

例3 2025·邗江校级期中
如图1-5-10,在四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD。若∠BAD= 56°,则∠EDB的度数为______°。

答案： 解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，
∴EA=EB=EC=DE，
∴∠DAE=∠ADE，∠BAE=∠EBA，∠EDB=∠EBD，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，∠BEC=∠BAE+∠EBA=2∠BAE，
∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+2∠BAE=2(∠DAE+∠BAE)=2∠BAD，
∵∠BAD=56°，
∴∠DEB=2×56°=112°，
∴∠EDB=∠EBD=(180°-∠DEB)÷2=(180°-112°)÷2=34°。
答：34

例4
如图1-5-11,在△ABC中,AB= AC,∠A= 2∠ABD,当△BDC是等腰三角形时,求∠DBC的度数。

答案： 解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C。
①当BD=CD时，∠C=∠CBD＜∠ABC，不成立。
②当BD=BC时，∠C=∠BDC=∠A+∠ABD。设∠ABD=x，则∠A=2x，∠ABC=∠C=3x。
由三角形内角和得2x+3x+3x=180°，解得x=22.5°，∠DBC=3x-x=2x=45°。
③当CB=CD时，∠CBD=∠CDB=∠A+∠ABD。设∠ABD=x，则∠A=2x，∠CBD=∠CDB=3x，∠ABC=∠C=4x。
由三角形内角和得2x+4x+4x=180°，解得x=18°，∠DBC=3x=54°。
综上所述，∠DBC的度数为45°或54°。

变式2 见答案P168
如图1-5-15,在△ABC中,D是AB边上一点,在AC的延长线上取EC= BD,连接DE交BC于点F,若DF= EF,求证：△ABC为等腰三角形。

答案： 2.证明:过点D作DM//AC交BC于点M(图略),
所以∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠FEC,
所以∠DFM=∠EFC。
在△DMF和△ECF中,
{∠FDM=∠FEC,DF=EF,∠DFM=∠EFC,
所以△DMF≌△ECF(ASA),
所以DM=EC。
又EC=BD,所以BD=DM,
所以∠DBM=∠DMB,
即∠DBM=∠ACB,
所以AB=AC,
所以△ABC为等腰三角形。