《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3
某小区有一块面积为$196m^2$的正方形空地,开发商计划在此空地上建一个面积为$100m^2$的长方形花坛,使长方形的长是宽的2倍。请你通过计算说明开发商能否实现这个计划。(参考数据:√2≈1.414,√50≈7.071)

答案： 【解析】：
本题可先根据长方形花坛面积与长宽的关系求出长和宽，再与正方形空地的边长比较，判断能否实现计划；同时还可通过设未知数，根据正方形和长方形的相关性质列出方程，求出长方形花坛面积的最大值，进一步判断能否实现计划。
方法一：根据长方形面积公式求出长和宽，再与正方形边长比较
步骤一：求出长方形花坛的长和宽
设长方形花坛的宽为$x$米，因为长方形的长是宽的$2$倍，则长为$2x$米。
已知长方形花坛面积为$100$平方米，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得$2x\cdot x = 100$，即$x^2 = 50$。
因为$x\gt0$，所以$x = \sqrt{50}$，$2x = 2\sqrt{50}$。
步骤二：求出正方形空地的边长
已知正方形空地面积为$196$平方米，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得正方形空地的边长为$\sqrt{196} = 14$米。
步骤三：比较长方形长与正方形边长的大小
因为$2\sqrt{50}=\sqrt{200}$，$14 = \sqrt{196}$，且$\sqrt{200}\gt\sqrt{196}$，即$2\sqrt{50}\gt14$，所以当长方形的边与正方形的边平行时，开发商不能实现这个计划。
方法二：通过设未知数，根据正方形和长方形的相关性质求出长方形花坛面积的最大值
步骤一：设未知数并表示出相关线段的长度
设长方形的宽$EF = 2y$米，长$FG = 4y$米。
因为正方形$ABCD$的面积为$196$平方米，所以正方形$ABCD$的边长$AB = BC = 14$米，根据勾股定理可得对角线$AC = \sqrt{14^2 + 14^2} = 14\sqrt{2}$米。
步骤二：根据等腰三角形和直角三角形斜边中线的性质列出方程
由图可知$\triangle AEF$和$\triangle CGH$均为等腰直角三角形，$AC$垂直平分$EF$，$GH$，根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质易知$AC = FG + EF$，即$2y + 4y = 14\sqrt{2}$。
步骤三：解方程求出$y$的值
解方程$2y + 4y = 14\sqrt{2}$，可得$6y = 14\sqrt{2}$，$y = \frac{7\sqrt{2}}{3}$。
步骤四：求出长方形花坛的面积并与$100$平方米比较
长方形$EFGH$的面积为$8y^2$，将$y = \frac{7\sqrt{2}}{3}$代入可得：
$8×(\frac{7\sqrt{2}}{3})^2 = 8×\frac{98}{9} \approx 87.1\lt 100$
所以开发商不能实现这个计划。
综上，开发商不能实现这个计划。
【答案】：
开发商不能实现这个计划。理由如下：
设长方形花坛的宽为$x$米，长为$2x$米。由题意，得$2x\cdot x = 100$，所以$x^2 = 50$。因为$x\gt0$，所以$x = \sqrt{50}$，$2x = 2\sqrt{50}$。因为正方形的面积为$196$平方米，所以正方形的边长为$14$米。因为$2\sqrt{50}\gt14$，所以当长方形的边与正方形的边平行时，开发商不能实现这个计划。当长方形花坛如图放置时，设长方形的宽$EF = 2y$米，长$FG = 4y$米，因为正方形$ABCD$的面积为$196$平方米，所以$AB = BC = 14$米，可得$AC = 14\sqrt{2}$米，由图可知，$\triangle AEF$和$\triangle CGH$均为等腰直角三角形，$AC$垂直平分$EF$，$GH$，根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质易知$AC = FG + EF$，所以$2y + 4y = 14\sqrt{2}$，解得$y = \frac{7\sqrt{2}}{3}$，所以长方形$EFGH$的面积为$8y^2\approx 87.1\lt 100$，所以开发商不能实现这个计划。综上所述，开发商不能实现这个计划。