《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
已知$y= y_{1}+y_{2}$,其中$y_{1}与x$成正比例,$y_{2}与(x-2)$成正比例,且当$x= -1$时,$y= 2$；当$x= 2$时,$y= 5$。
(1)求$y与x$的函数关系式；
(2)当$x= -1$时,求函数值；
(3)当$y的取值范围是0≤y≤5$时,求$x$的取值范围。
 

答案：
(1)解：设$y_{1}=k_{1}x$（$k_{1}\neq0$），$y_{2}=k_{2}(x - 2)$（$k_{2}\neq0$），则$y = y_{1}+y_{2}=k_{1}x + k_{2}(x - 2)=(k_{1}+k_{2})x-2k_{2}$。
将$x=-1$，$y = 2$和$x = 2$，$y = 5$分别代入得：
$\begin{cases}-(k_{1}+k_{2})-2k_{2}=2\\2(k_{1}+k_{2})-2k_{2}=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_{1}+k_{2}=1\\2k_{2}=- 3\end{cases}$
所以$y=x + 3$
(2)解：当$x=-1$时，$y=-1 + 3=2$
(3)解：当$y = 0$时，$x + 3=0$，解得$x=-3$
当$y = 5$时，$x + 3=5$，解得$x = 2$
所以$x$的取值范围是$-3\leq x\leq2$

例3
为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的。研究表明：假设课桌的高度为$y$cm,椅子的高度(不含靠背)为$x$cm,则$y是x$的一次函数。下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
|名称|第一套|第二套|
|椅子高度$x/cm$|40.0|37.0|
|课桌高度$y/cm$|75.0|70.2|
(1)请确定$y与x$的函数表达式(不要求写出$x$的取值范围)。
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和高78.2 cm的课桌,它们是否配套？请通过计算说明理由。
 

答案： 【解析】：
题目考查了一次函数的概念和应用。
首先，需要设定一次函数的表达式，即$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
然后，利用题目给出的两套课桌椅的高度数据，可以列出两个方程，通过解这两个方程，可以求出$k$和$b$的值，从而确定函数表达式。
最后，将给出的椅子高度代入函数表达式，计算出对应的课桌高度，与实际课桌高度进行比较，判断是否配套。
(1) 根据题目，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$，其中$k \neq 0$。
将点$(40.0,75.0)$和$(37.0,70.2)$代入函数表达式，得到两个方程：
$\begin{cases}75.0 = 40.0k + b, \\70.2 = 37.0k + b.\end{cases}$
解这个方程组，可以得到$k=1.6$，$b=11$。
所以，$y$与$x$的函数表达式为$y=1.6x+11$。
(2) 当$x=42.0$时，代入函数表达式$y=1.6x+11$，计算得到$y=1.6 × 42.0 + 11 = 78.2$。
由于计算出的课桌高度$78.2$cm与实际课桌高度$78.2$cm相等，所以高$42.0$cm的椅子和高$78.2$cm的课桌是配套的。
【答案】：
(1)$y$与$x$的函数表达式为$y= 1.6x+11$；
(2)高$42.0$cm的椅子和高$78.2$cm的课桌配套。理由：当$x= 42.0$时，$y= 1.6×42.0+11= 78.2$，与实际课桌高度相等。