《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
如图3-2-2的网格是正方形网格,则$\angle PAB+\angle PBA= $45°(点A,B,P是网格线交点)。

 

答案： 解：延长AP到点D，使得PD=AP，连接BD。
由网格特征可知点D是网格线交点。
根据勾股定理：PD²=1²+2²=5，BD²=1²+2²=5，PB²=1²+3²=10。
∵PD²+BD²=5+5=10=PB²，
∴∠PDB=90°。
∵PD=BD=√5，
∴△PDB是等腰直角三角形，∠DPB=45°。
∵∠DPB是△APB的外角，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°。
答：45

例3
如图3-2-4,在$\triangle ABC$中,D是BC上的一点,已知AB= 13,AD= 12,AC= 15,BD= 5,求CD的长。

 

答案： 解：在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5，
∵AD²+BD²=12²+5²=144+25=169，AB²=13²=169，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°，
在Rt△ADC中，AC=15，AD=12，
由勾股定理得CD²=AC²-AD²=15²-12²=225-144=81，
∴CD=9（负值舍去）。
答：CD的长为9。

例4 2022·苏州期中
课堂上学习了勾股定理后,知道"勾三、股四、弦五",王老师给出一组数让同学们观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;同学们发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,于是王老师提出以下问题让同学们解决。
(1)请根据上述规律写出下一组勾股数:11,______,______。
(2)若第一个数用字母a(a为奇数,且$a\geq 3$)表示,那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示?聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律:$4= \frac{3^{2}-1}{2}$,$12= \frac{5^{2}-1}{2}$,$24= \frac{7^{2}-1}{2}$,…。于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^{2}-1}{2}$,则用含a的代数式表示第三个数为______。
(3)请用所学知识证明(2)中用字母a表示的三个数是勾股数。
 

答案： 【解析】：
(1) 首先，我们观察给出的勾股数规律，发现第一个数是奇数，且递增，第二个数是第一个数的平方减1后除以2，第三个数是第一个数的平方加1后除以2。基于这个规律，当第一个数为11时，我们可以计算出第二个数为$\frac{11^2 - 1}{2} = 60$，第三个数为$\frac{11^2 + 1}{2} = 61$。
(2) 对于第二个问题，题目已经给出了第二个数的代数式$\frac{a^2 - 1}{2}$，我们需要找出第三个数的代数式。观察规律，我们发现第三个数总是比第二个数大1，因此，第三个数的代数式为$\frac{a^2 + 1}{2}$。
(3) 对于第三个问题，我们需要证明$a$, $\frac{a^2 - 1}{2}$, $\frac{a^2 + 1}{2}$构成勾股数。根据勾股定理，我们需要证明$a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2 = \left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$。通过代数运算，我们可以验证这个等式成立。同时，因为a是奇数且大于等于3，所以这三个数都是正整数，满足勾股数的定义。
【答案】：
(1) 下一组勾股数为：11, 60, 61。
(2) 用含a的代数式表示第三个数为：$\frac{a^2 + 1}{2}$。
(3) 已证明$a$, $\frac{a^2 - 1}{2}$, $\frac{a^2 + 1}{2}$构成勾股数。

已知a,b,c为$\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}= a^{4}-b^{4}$,则它的形状为(D)。
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.以上三种都有可能

答案： D 【解析】因为$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$,所以$(a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2})-(a^{4}-b^{4})=0$,所以$c^{2}(a+b)(a-b)-(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})=0$,所以$(a+b)(a-b)(c^{2}-a^{2}-b^{2})=0$。因为$a+b≠0$,所以$a-b=0$或$c^{2}-a^{2}-b^{2}=0$,所以$a=b$或$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。

如图3-2-5,每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则$AB^{2}= $10,$\angle ABC= $45°。

答案： 10 45 【解析】连接 AC(图略),根据勾股定理可以得到$AB^{2}=1^{2}+3^{2}=10$,$AC^{2}=BC^{2}=1^{2}+2^{2}=5$。因为$5+5=10$,即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,所以△ABC 是等腰直角三角形,所以$∠ABC=45^{\circ}$。

变式3 见答案P173
如图3-2-6,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,AC= BC,P是$\triangle ABC$内的一点,且PB= 1,PC= 2,PA= 3,求$\angle BPC$的度数。

答案：
解:如图,过点 C 作$EC⊥PC$,并截取$EC=PC$,连接 EB,PE,
　　　　　　　　
即△PCE 为等腰直角三角形,所以$∠CPE=45^{\circ}$,$PE^{2}=PC^{2}+EC^{2}=8$。因为$∠ACP+∠PCB=∠BCE+∠PCB=90^{\circ}$,所以$∠ACP=∠BCE$。又$AC=BC$,$PC=EC$,所以$△APC\cong △BEC(SAS)$,所以$EB=PA=3$。因为$PB=1$,所以$PE^{2}+PB^{2}=9$。又因为$EB^{2}=9$,所以$PE^{2}+PB^{2}=EB^{2}$,所以△BPE 是直角三角形,且$∠BPE=90^{\circ}$,所以$∠BPC=∠CPE+∠BPE=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$。