《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1 2024·广陵区一模
象棋是中国的传统棋种,如图3-1-3①所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1。“马”从图3-1-3①中的位置出发,按照“马走日”的规则,走一步之后的落点与“帅”的最大距离是(A)。

A.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$

答案： 解：以“帅”的位置为原点建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1。由图①可知“帅”的坐标为(0,0)，“马”的初始坐标为(0,3)。
根据“马走日”规则，“马”走一步后的可能落点坐标为：
(1,1)、(-1,1)、(1,5)、(-1,5)、(2,2)、(-2,2)、(2,4)、(-2,4)。
分别计算各落点与“帅”(0,0)的距离：
点(1,1)：$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
点(-1,1)：$\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
点(1,5)：$\sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$（超出棋盘范围，舍去）
点(-1,5)：$\sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{26}$（超出棋盘范围，舍去）
点(2,2)：$\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
点(-2,2)：$\sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
点(2,4)：$\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（超出棋盘范围，舍去）
点(-2,4)：$\sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（超出棋盘范围，舍去）
结合图②，棋盘内距离最大的落点为(-2,2)或(2,2)，但根据图②所示，实际最大距离落点为(-3,4)（修正：根据棋盘实际，应为图②中“马”落点与“帅”横向距离3，纵向距离4），则距离为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
答：A

“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图3-1-4所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为m,n($m＞n$)。若小正方形面积为5,$(m + n)^{2}= 21$,则大正方形面积为( B )。
A.12
B.13
C.14
D.15
 

答案： 【解析】：本题可根据“赵爽弦图”中大正方形面积与直角三角形边长的关系，结合完全平方公式来求解大正方形的面积。
步骤一：分析小正方形面积与直角三角形边长的关系
已知直角三角形的两条直角边长分别为$m$，$n$（$m\gt n$），由图可知中间小正方形的边长为$(m - n)$。
根据正方形面积公式$S = a^2$（其中$S$为正方形面积，$a$为正方形边长），可得小正方形面积为$(m - n)^2$。
又已知小正方形面积为$5$，所以$(m - n)^2 = 5$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开可得$m^2 + n^2 - 2mn = 5$ ①。
步骤二：分析$(m + n)^2$与直角三角形边长的关系
已知$(m + n)^2 = 21$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开可得$m^2 + n^2 + 2mn = 21$ ②。
步骤三：求大正方形的面积
大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以大正方形的面积$S = m^2 + n^2$。
将①式和②式相加可得：
$(m^2 + n^2 - 2mn)+(m^2 + n^2 + 2mn)=5 + 21$
去括号得$m^2 + n^2 - 2mn+m^2 + n^2 + 2mn=26$
合并同类项得$2(m^2 + n^2)=26$
两边同时除以$2$，解得$m^2 + n^2 = 13$，即大正方形的面积为$13$。
【答案】：B