《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2 2024·江阴期中
如图1-1-3 ,在$\triangle ABC$中,$\angle1= \angle2$,G为AD的中点,连接BG并延长交AC于点E,$CH\perp AD$,垂足为H,延长CH交AB于点F。有以下结论:①AD是$\triangle ABE$的角平分线；②BE是$\triangle ABD$边AD上中线；③CH是$\triangle ACD$边AD上的高；④AH$\triangle ACF$的角平分线和高。其中正确的是(B)。


A.①②④
B.③④
C.②④
D..①③
 

答案： 【解析】：本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高。
①对于“$AD$是$\triangle ABE$的角平分线”这一结论：
根据三角形角平分线的定义，角平分线是三角形一个内角的平分线与对边相交，其顶点与对边交点之间的线段。
已知$\angle1 = \angle2$，说明$AD$平分$\angle BAE$，但$AD$不是$\triangle ABE$内的线段，所以$AD$不是$\triangle ABE$的角平分线，而$AG$是$\triangle ABE$的角平分线，故①错误。
②对于“$BE$是$\triangle ABD$的边$AD$上的中线”这一结论：
三角形中线的定义是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
虽然$G$为$AD$的中点，$BE$经过$\triangle ABD$的边$AD$的中点$G$，但$BE$不是$\triangle ABD$内的线段，所以$BE$不是$\triangle ABD$的边$AD$上的中线，$BG$是$\triangle ABD$的边$AD$上的中线，故②错误。
③对于“$CH$是$\triangle ACD$的边$AD$上的高”这一结论：
三角形高的定义是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
因为$CH\perp AD$，垂足为$H$，满足三角形高的定义，所以$CH$是$\triangle ACD$的边$AD$上的高，故③正确。
④对于“$AH$是$\triangle ACF$的角平分线和高”这一结论：
由于$\angle1 = \angle2$，$AH$平分$\angle FAC$，并且$AH$在$\triangle ACF$内，所以$AH$是$\triangle ACF$的角平分线。
又因为$AH\perp CF$，垂足为$H$，满足三角形高的定义，所以$AH$是$\triangle ACF$的高，故④正确。
综上，③④正确，答案选B。
【答案】：B

2 能力拓展 学到位
能力点1 利用“三线解决实际问题(1)关于三角形的高我们不仅可以利用两线垂直成$90^\circ$还可以利用三角形面积,因为每个三角形的三条边对应三条不同高线且每边与其对应高的乘积一定相等(同一个三角形面积不变) (2)三角形中线把三角形分成两个面积相等三角形(等底同高的两个三角形面积相等)例 如图 在$\triangle ABC$ AD高AE角平分线AF中线则下列结论错误的是( D)。
A.$BF= CF$ B.$\angle BAE= \angle EAC$ C.$\angle C+\angle CAD= 90^\circ$ D.$S_{\triangle BAE}= S_{\triangle EAC}$
 

答案： 【解析】：本题考查了三角形的高、角平分线和中线的性质。
选项A：因为AF是$\triangle ABC$的中线，根据中线的定义，中线将三角形的底边分为两个相等的部分，所以$BF = CF$，故A选项正确。
选项B：因为AE是$\triangle ABC$的角平分线，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的角，所以$\angle BAE = \angle CAE$，故B选项正确。
选项C：因为AD是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADC = 90^\circ$。根据直角三角形的性质，两个锐角之和为$90^\circ$，所以$\angle C + \angle CAD = 90^\circ$，故C选项正确。
选项D：因为AE是角平分线，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等，但BE和EC不一定相等，所以$\triangle BAE$和$\triangle EAC$的面积不一定相等，故D选项错误。
【答案】：D。