《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3 宁波中考
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载｡如图3-1-19①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图3-1-19②的方式放置在最大正方形内｡若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出(C)｡

A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
 

答案： 【解析】：
题目考察勾股定理以及图形面积的计算和推理。
设直角三角形的三边分别为$a$（较短直角边）、$b$（较长直角边）、$c$（斜边），根据勾股定理可知$c^{2}= a^{2}+b^{2}$。
图3-1-19②中阴影部分面积等于最大正方形面积减去两个较小正方形中非重叠部分面积，即$c^{2}-b^{2}-a(c - b)$，化简可得$a(a + b - c)$。
较小两个正方形重叠部分的宽为$a-(c - b)$，长为$a$，所以其面积为$a(a + b - c)$，与阴影部分面积表达式相同。
所以知道阴影部分面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
逐一分析选项：
选项A：直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab$，仅知道阴影部分面积无法得出$a$、$b$的具体值，所以不能求出直角三角形的面积，该选项错误。
选项B：最大正方形的面积就是$c^{2}$，虽然$c^{2}= a^{2}+b^{2}$，但不知道$a$、$b$具体值，不能直接求出最大正方形的面积，该选项错误。
选项C：由前面分析可知，阴影部分面积与较小两个正方形重叠部分面积表达式相同，知道阴影部分面积，一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，该选项正确。
选项D：最大正方形面积为$c^{2}= a^{2}+b^{2}$，直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，仅知道阴影部分面积无法得出$a$、$b$具体值，所以不能求出最大正方形与直角三角形的面积和，该选项错误。
【答案】：C

1.(2025·如东县期末·知识点1)已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为2,3,则它的斜边AB的长为(D)｡
A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$\frac{7}{2}$
D.$\sqrt{13}$

答案： D 【解析】AB=√(AC²+BC²)=√(2²+3²)=√13。

2.(2025·玄武区期中·知识点2)如图3-1-20,四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案,如果大正方形的面积为25,小正方形的面积为4,直角三角形的两直角边分别为a和b,那么$(a + b)^{2}$的值为______｡

46

答案： 46 【解析】大正方形的面积为 25，所以 a²+b²=25。因为 4×1/2ab=25 - 4=21，所以 2ab=21，所以(a+b)²=a²+b²+2ab=25+21=46。

3.(能力点1)如图3-1-21,在△ABC中,AB= AC= 5,BC= 6,BD是∠ABC的平分线,过点D作DE⊥BC,垂足为E,则DE的长为(B)｡

A.$\frac{48}{11}$
B.$\frac{24}{11}$
C.$\frac{12}{11}$
D.2

答案： B 【解析】作 DF⊥AB，垂足为 F，作 AG⊥BC，垂足为 G(图略)，根据角平分线的性质，可以得到 DE=DF，再根据勾股定理和等腰三角形的性质可以得到 AG=4，然后根据等面积法，即可计算出 DE=24/11。