《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
如图3-3-4,在四边形ABCD中,AB= 4cm,BC= 3cm,CD= 12cm,DA= 13cm,且∠ABC= 90°,求四边形ABCD的面积。


 
24cm²

答案： 【解析】：本题考查勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理求出$AC$的长度，再利用勾股定理的逆定理判断$\triangle ADC$是直角三角形，最后用两个直角三角形的面积差来计算四边形$ABCD$的面积。
1. 首先，在$Rt\triangle ABC$中，已知$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 4cm$，$BC = 3cm$，根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，可得$AC=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5cm$。
2. 然后，在$\triangle ADC$中，$CD = 12cm$，$DA = 13cm$，计算$AC^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$DA^{2}=13^{2}=169$，所以$AC^{2}+CD^{2}=DA^{2}$，根据勾股定理的逆定理可知$\triangle ADC$是直角三角形，且$\angle ACD = 90^{\circ}$。
3. 最后，四边形$ABCD$的面积等于$S_{\triangle ACD}-S_{\triangle ABC}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC× CD-\frac{1}{2}AB× BC=\frac{1}{2}×5×12 - \frac{1}{2}×4×3=30 - 6 = 24cm^{2}$。
【答案】：$24cm^{2}$

变式3 见答案P174
如图3-3-14,某开发区有一块四边形空地ABCD,现计划在空地上种植草皮,经测量,∠B= 90°,AB= 20m,BC= 15m,CD= 7m,AD= 24m。若每平方米草皮需要200元,则种植这片草皮需要多少元？

答案： 解:连接AC 
因为∠B=90°,AB=20m,BC=15m,
所以由勾股定理得AC=25m。
因为AC=25m,CD=7m,AD=24m,
所以AD²+CD²=AC²,所以△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×BC=$\frac{1}{2}$×20×15=150(m²),S△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×AD=$\frac{1}{2}$×7×24=84(m²),
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=234(m²),
所以种植这片草皮需要234×200=46800(元)。