《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例4
请根据如图2-2-1所示的对话内容回答下列问题。

(1)求该魔方的棱长；
(2)求该长方体纸盒的表面积。
 

答案： 【解析】：
本题主要考查立方根和长方体表面积的计算。
对于第一问，根据魔方的体积和立方根的定义来求解魔方的棱长。
对于第二问，先根据魔方棱长和长方体纸盒体积求出纸盒的长（高），再根据长方体表面积公式计算纸盒表面积。
（1）求魔方的棱长：
设魔方的棱长为$x cm$，已知魔方体积为$216cm^3$，根据正方体体积公式$V = x^3$（$V$为正方体体积，$x$为棱长），可得方程$x^3 = 216$。
对方程两边同时开立方，即$x=\sqrt[3]{216}$，因为$6^3 = 216$，所以$x = 6$，故魔方的棱长为$6cm$。
（2）求长方体纸盒的表面积：
设长方体纸盒的长为$y cm$，因为纸盒的宽与魔方的棱长相等，所以宽为$6cm$，又因为纸盒的长与高相等，所以高为$y cm$。
已知长方体纸盒体积是$600cm^3$，根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，可得$6y^2 = 600$。
方程两边同时除以$6$，得到$y^2 = 100$，对其开平方，可得$y = \pm10$。
因为长度不能为负，所以舍去$y = -10$，取$y = 10$。
根据长方体表面积公式$S = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，将长$ = 10cm$，宽$ = 6cm$，高$ = 10cm$代入公式，可得：
$S_{纸盒}= 2×(10×6 + 10×10 + 6×10)$
$= 2×(60 + 100 + 60)$
$= 2×220$
$= 440(cm^2)$
故长方体纸盒的表面积为$440cm^2$。
【答案】：
(1)$6cm$；
(2)$440cm^2$

(1)填写下表：
|a|…|-0.001|0|0.001|1|1000|…|
|$\sqrt[3]{a}$|…|-0.1|0|0.1|1|10|…|
(2)利用你观察得到的规律填空：若$\sqrt[3]{a}= -50$,$\sqrt[3]{0.125}= 0.5$,则a的值为-125000。

答案： 【解析】：
(1) 对于 $|a|$ 列表中的每一个值，我们需要找到对应的 $\sqrt[3]{a}$ 值。
当 $a = 0.001$ 时，利用立方根的定义，我们需要找到一个数，它的立方等于 0.001。这个数是 0.1，因为 $0.1^3 = 0.001$。
当 $a = 1000$ 时，我们需要找到一个数，它的立方等于 1000。这个数是 10，因为 $10^3 = 1000$。
所以填写后的表格为：|a|…|0.001|1|1000|…| $\sqrt[3]{a}$ |…|0.1|1|10|…|
(2) 对于 $\sqrt[3]{a} = -50$，我们需要找到一个数 a，使得它的立方根是 -50。
已知 $\sqrt[3]{0.125} = 0.5$，可以观察到，立方根的小数点每移动三位，原数的小数点会移动一位（指数的性质）。
因此，从 0.5 到 -50，小数点向右移动了两位，所以原数 a 的小数点需要向右移动 6 位（因为 $3 × 2 = 6$）。
所以，从 0.125 变为 -125000。
【答案】：
(1) 0.1；10
(2) -125000

变式4 见答案P170
如图2-2-2,圆柱形容器的容积为81 L,它的底面直径是高的2倍。(π取3)
(1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？
(2)若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的,则制作这个圆柱形容器至少需要铁皮多少平方分米？(不计损耗)

答案： 解:
(1)设这个圆柱形容器的高为x dm,则它的底面直径是2x dm,依题意得πx²×x=81,解得x=3,所以2x=6,故这个圆柱形容器的底面直径约为6 dm。
(2)2π×3²+2π×3×3=108(dm²)。故制作这个圆柱形容器至少需要铁皮约108 dm²。

若$\sqrt[3]{0.3}\approx0.6694$,$\sqrt[3]{3}\approx1.442$,则下列各式中正确的是(B)。
A.$\sqrt[3]{300}\approx14.42$
B.$\sqrt[3]{300}\approx6.694$
C.$\sqrt[3]{300}\approx144.2$
D.$\sqrt[3]{300}\approx66.94$

答案： B 【解析】因为被开立方数的小数点向右移动3位,则其立方根的小数点向右移动1位,所以√[3]{300}≈0.6694×10=6.694。