《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例4
如图1-4-12,在四边形ABCD中,$BC＞BA,AD= CD$,BD平分$∠ABC$｡求证:$∠BAD+∠C= 180^{\circ }$｡
 

答案： 【解析】：本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质。
首先，根据题意，过点$D$作$DE \perp BC$，垂足为$E$，同时过点$D$作$DF \perp AB$，交$BA$的延长线于点$F$。
由于$BD$平分$\angle ABC$，根据角平分线的性质，得出$DE = DF$。
又因为$DE \perp BC$和$DF \perp AB$，所以$\angle DEC = \angle F = 90^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup CDE$和$Rt \bigtriangleup ADF$中，已知$CD = AD$和$DE = DF$，根据$HL$全等条件，可以得出$Rt \bigtriangleup CDE \cong Rt \bigtriangleup ADF$。
由于全等三角形的对应角相等，所以$\angle C = \angle FAD$。
最后，由于$\angle BAD$和$\angle FAD$是补角关系，所以$\angle BAD + \angle C = \angle BAD + \angle FAD = 180^{\circ}$。
【答案】：证明：过点$D$作$DE \perp BC$，垂足为$E$，同时过点$D$作$DF \perp AB$，交$BA$的延长线于点$F$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore DE = DF$（角平分线的性质）。
$\because DE \perp BC,DF \perp AB$，
$\therefore \angle DEC = \angle F = 90^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup CDE$和$Rt \bigtriangleup ADF$中，
$\left\{\begin{matrix}CD = AD,\\DE = DF.\end{matrix}\right.$
$\therefore Rt \bigtriangleup CDE \cong Rt \bigtriangleup ADF(HL)$（全等三角形的判定）。
$\therefore \angle C = \angle FAD$（全等三角形的性质）。
$\therefore \angle BAD + \angle C = \angle BAD + \angle FAD = 180^{\circ}$。

例5
如图1-4-13①,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠ABC= 60^{\circ }$,AD,CE分别是$∠BAC,∠BCA$的平分线,AD,CE相交于点F｡

(1)请你判断并写出FD与FE之间的数量关系
(2)如图,如果∠ACB不是直角,其他条件不变,那么(1)中结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由

答案： 1. （1）
解：$FD = FE$。
理由：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，则$\angle BAC=30^{\circ}$。
因为$AD$，$CE$分别是$\angle BAC$，$\angle BCA$的平分线，所以$\angle FAC = 15^{\circ}$，$\angle FCA = 45^{\circ}$，则$\angle AFC=180^{\circ}-\angle FAC - \angle FCA=120^{\circ}$，$\angle EFD=\angle AFC = 120^{\circ}$。
过点$F$作$FM\perp BC$于$M$，作$FN\perp AB$于$N$。
因为$AD$，$CE$是角平分线，所以$FN = FM$。
$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BEC=\angle BAC+\angle ACE=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle FDM=\angle BAD+\angle ABC = 15^{\circ}+60^{\circ}=75^{\circ}$。
在$Rt\triangle FNE$和$Rt\triangle FMD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle FNE=\angle FMD = 90^{\circ}\\\angle FEN=\angle FDM\\FN = FM\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle FNE\cong Rt\triangle FMD(AAS)$，所以$FD = FE$。
2. （2）
解：结论仍然成立，即$FD = FE$。
证明：过点$F$作$FM\perp BC$于$M$，作$FN\perp AB$于$N$，作$FG\perp AC$于$G$。
因为$AD$，$CE$分别是$\angle BAC$，$\angle BCA$的平分线，所以$FN = FG$，$FG = FM$，则$FN = FM$。
$\angle ABC+\angle BAC+\angle BCA = 180^{\circ}$，$\angle AFE=\angle FAC+\angle FCA=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)$，$\angle FDC=\angle B+\angle BAD=\angle B+\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle FEC=\angle B+\angle BCE=\angle B+\frac{1}{2}\angle BCA$。
$\angle EFD = 180^{\circ}-\angle AFE$，$\angle AFE=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B$，所以$\angle EFD = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B$。
$\angle FDM = 180^{\circ}-\angle FDC=180^{\circ}-(\angle B+\frac{1}{2}\angle BAC)$，$\angle FEN = 180^{\circ}-\angle FEC=180^{\circ}-(\angle B+\frac{1}{2}\angle BCA)$。
$\angle FDM+\angle FEN=360^{\circ}-2\angle B - \frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)=360^{\circ}-2\angle B-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B)=270^{\circ}-\frac{3}{2}\angle B$。
又因为$\angle EFD = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B$，$\angle FNE+\angle FMD = 180^{\circ}$。
$\angle FEN+\angle EFN = 90^{\circ}$，$\angle FDM+\angle DFM = 90^{\circ}$。
因为$\angle EFN+\angle DFM=\angle EFD - 90^{\circ}=\frac{1}{2}\angle B$，$\angle FEN=\angle ABC+\frac{1}{2}\angle BCA$，$\angle FDM=\angle ABC+\frac{1}{2}\angle BAC$。
又$\angle BAC+\angle BCA = 180^{\circ}-\angle B$。
$\angle FEN+\angle FDM=\angle B+\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)=\angle B + 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B$。
$\angle FNE=\angle FMD = 90^{\circ}$，$FN = FM$。
在$Rt\triangle FNE$和$Rt\triangle FMD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle FNE=\angle FMD\\\angle FEN=\angle FDM\\FN = FM\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle FNE\cong Rt\triangle FMD(AAS)$，所以$FD = FE$。
综上，（1）$FD = FE$；（2）结论仍然成立，$FD = FE$。

变式5见答案P167
如图1-4-20,在△ABC中,$∠ABC,$∠ACB的外角平分线交于点P,$PE⊥AB$且交AB的延长线于点E,$PF⊥AC$且交AC的延长线于点F｡求证:$BE= BC-CF$｡

答案： 证明:过点 P 作 PD⊥BC,垂足为 D(图略)。因为 PC 平分∠BCF,PF⊥AC,所以 PD=PF。在 Rt△PCF 和 Rt△PCD 中,{PF=PD,PC=PC,所以 Rt△PCF≌Rt△PCD(HL),所以 CF=CD。同理可证 BE=BD,所以 BC=CD+BD=CF+BE,即 BE=BC - CF。

例5(1)中,不能错误地认为:连接BF,由于三角形的角平分线相交于一点,所以FB平分$∠ABC$,所以$FE= FD$｡错误的原因是FE,FD并不是垂线段(距离)｡
(1)请你判断并写出FD与FE之间的数量关系｡
(2)如图1-4-13②,如果$∠ACB$不是直角,其他条件不变,那么(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由｡
 

答案：

(1) FD=FE。理由如下：
如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，作FN⊥AB，垂足为N，连接BF。
因为点F是角平分线的交点，所以BF也是角平分线，所以FM=FN，∠DMF=∠ENF=90∘。
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=60∘，所以∠BAC=30∘，∠DAC=21​∠BAC=15∘，则∠MDF=75∘。
∠ACE=21​∠ACB=45∘，∠NEF=∠BAC+∠ACE=30∘+45∘=75∘，所以∠NEF=∠MDF。
在△DMF和△ENF中，⎩⎨⎧​∠MDF=∠NEF∠DMF=∠ENFFM=FN​，所以△DMF≅△ENF(AAS)，故FD=FE。
(2) FD=FE仍然成立。证明如下：
如图，过点F作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足分别为M，N，连接FB。
设∠BAC=2x，∠ACB=2y，因为角平分线AD，CE相交于点F，所以BF平分∠ABC，则FM=FN。
∠ABC=60∘，由三角形内角和定理得2x+2y=120∘，即x+y=60∘。
由三角形外角性质，∠NEF=∠BAC+∠ACE=2x+y=x+60∘，∠MDF=∠ABC+∠BAD=x+60∘，所以∠MDF=∠NEF。
在△DMF和△ENF中，⎩⎨⎧​∠MDF=∠NEF∠DMF=∠ENFFM=FN​，所以△DMF≅△ENF(AAS)，故FD=FE。