《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1-1
如图2-3-2,数轴上的两点A,B对应的实数分别是a,b,则下列式子中成立的是(A)。

A.$1-2a＞1-2b$
B.$-a＜-b$
C.$a+b＜0$
D.$|a|-|b|＞0$
 

答案： 【解析】：本题可根据数轴上$a$、$b$的位置关系，判断$a$、$b$的大小关系，再根据不等式的性质以及绝对值的性质来逐一分析选项。
步骤一：根据数轴判断$a$、$b$的大小关系
由数轴可知，点$A$对应的实数为$a$，点$B$对应的实数为$b$，且$a$在$b$的左侧，所以$a\lt b$。
步骤二：逐一分析选项
选项A：判断$1 - 2a$与$1 - 2b$的大小关系
根据不等式的性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
因为$a\lt b$，两边同时乘以$-2$，不等号方向改变，可得$-2a\gt -2b$。
再根据不等式的性质：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
在$-2a\gt -2b$两边同时加$1$，可得$1 - 2a\gt 1 - 2b$，所以该选项成立。
选项B：判断$-a$与$-b$的大小关系
因为$a\lt b$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$-a\gt -b$，所以该选项不成立。
选项C：判断$a + b$的正负性
由数轴可知$-2\lt a\lt -1$，$2\lt b\lt 3$，则$\vert a\vert\lt\vert b\vert$，且$a$为负数，$b$为正数，正数的绝对值大，所以$a + b\gt 0$，该选项不成立。
选项D：判断$\vert a\vert - \vert b\vert$的正负性
因为$-2\lt a\lt -1$，$2\lt b\lt 3$，所以$\vert a\vert\lt\vert b\vert$，即$\vert a\vert - \vert b\vert\lt 0$，该选项不成立。
【答案】：A

例1-2
比较$-4\sqrt{3}与-3\sqrt{5}$的大小。
  

答案： 【解析】：
本题主要考查了实数的大小比较，特别是涉及到了平方根和算术运算。题目通过给定的两个带根号的负数，要求我们比较它们的大小。为了消除根号，我们采用了平方的方法，因为平方可以消除根号，并且平方后的数值大小关系与原数的大小关系一致（对于正数而言）。由于题目中的数是负数，所以当我们将它们平方后，原本较小的负数（绝对值较大）会变成较大的正数，因此在比较平方后的结果时，要注意反向思考，即平方大的原数反而小。
具体步骤如下：
1. 分别计算$-4\sqrt{3}$和$-3\sqrt{5}$的平方。
2. 比较这两个平方的结果。
3. 根据平方的结果来推断原数的大小关系。
【答案】：
因为$(-4\sqrt{3})^{2}= 48$，$(-3\sqrt{5})^{2}= 45$，$48＞45$，
所以$4\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$，
在数轴上，两个负数中，绝对值大的数反而小，
所以$-4\sqrt{3}＜-3\sqrt{5}$。

例1-3
比较$\sqrt{7}-\sqrt{2}与\sqrt{5}-\sqrt{3}$的大小。
 

答案： 解：$(\sqrt{7}-\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{3})$
$=\sqrt{7}-\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{3}$
$=(\sqrt{7}-\sqrt{5})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
因为$\sqrt{7}＞\sqrt{5}$，所以$\sqrt{7}-\sqrt{5}＞0$；
因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0$。
则$(\sqrt{7}-\sqrt{5})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})＞0$，
即$(\sqrt{7}-\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{3})＞0$，
所以$\sqrt{7}-\sqrt{2}＞\sqrt{5}-\sqrt{3}$。

例1-4
试比较$\frac{\sqrt{7}-2}{2}与\frac{1}{2}$的大小。
 

答案： 【解析】：
本题主要考查了实数的大小比较。为了避免分数的除法运算，我们采取商的比较法来比较两个实数的大小，即比较两数相除与1的大小关系。首先确定两个数都大于0，然后计算它们的商，将其与1进行比较。如果商小于1，则说明被除数小于除数；如果商大于1，则说明被除数大于除数。
【答案】：
解：
∵$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＞0$,$\frac{1}{2}＞0$
且$\frac{\sqrt{7}-2}{2}÷\frac{1}{2}=\sqrt{7}-2$
∵$\sqrt{7}＜\sqrt{9}$
∴$\sqrt{7}-2＜\sqrt{9}-2=1$
即$\frac{\sqrt{7}-2}{2}÷\frac{1}{2}＜1$
所以$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＜\frac{1}{2}$

如图2-3-4,在数轴上的两点A,B分别表示实数a,b,则下列四个数中最大的一个数是(D)。
A.a
B.b
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{1}{b}$

答案： D

变式2 见答案P171
比较两个数的大小。
(1)$\sqrt{2}和\frac{3}{2}$;$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$
(2)$\frac{\sqrt{11}-3}{7}和\frac{1}{7}$;$\frac{\sqrt{11}-3}{7}＜\frac{1}{7}$
(3)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}和\frac{5}{8}$。$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}$

答案： 解:
(1)因为$(\sqrt{2})^{2}=2$,$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$,$2＜\frac{9}{4}$,所以$(\sqrt{2})^{2}＜\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$,所以$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$。
(2)因为$\sqrt{11}＜\sqrt{16}=4$,所以$\frac{\sqrt{11}-3}{7}＜\frac{4-3}{7}=\frac{1}{7}$。
(3)因为$(4\sqrt{5})^{2}=80＜81=9^{2}$,所以$4\sqrt{5}＜9$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{5}{8}=\frac{4\sqrt{5}-9}{8}＜0$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}$。