《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3-1
如图3-3-6,一个牧童在小河南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km,北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

 

答案： 解：设河岸为MN，作出点A关于河岸MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，连接AP，则AP+PB就是最短路程。
因为AP=A'P，
所以AP+PB=A'P+PB=A'B。
在Rt△A'DB中，A'D=4+4+7=15(km)，BD=8km，
由勾股定理，得A'B²=15²+8²=289，
所以A'B=17km，即他要完成这件事情所走的最短路程是17km。

例3-2
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何。”题意是：如图3-3-8所示,把枯木看成一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕圆柱而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则葛藤的最短长度是25尺。

 

答案： 【解析】：
本题主要考查勾股定理的应用，关键在于将圆柱侧面展开，利用勾股定理求出葛藤的最短长度。
1. 首先，明确圆柱的高和底面周长：
已知圆柱的高为$20$尺，底面周长为$3$尺。
2. 然后，分析葛藤缠绕的情况：
葛藤绕了$5$周后到达点$B$，将圆柱侧面展开后，$AC$的长度就是底面周长，所以$AC = 3$尺；$DC$的长度是圆柱高除以缠绕的周数，即$DC=20÷5 = 4$尺。
3. 接着，利用勾股定理求$AD$的长度：
在直角三角形$ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}+DC^{2}$，将$AC = 3$尺，$DC = 4$尺代入可得$AD^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16=25$，所以$AD = 5$尺。
4. 最后，求出葛藤的最短长度：
因为葛藤绕了$5$周，所以葛藤的最短长度是$5× AD=5×5 = 25$尺。
【答案】：
25

例3-3
有一个长方体纸盒,如图3-3-10所示,小明所在的数学小组研究从长方体的底面上点A到与点A相对的侧面上点B的最短路线(不经过底面)。

若长方体的底面长为12,宽为9,高为5,请你帮助该小组求出点A到点B的最短路线长。$(21.59^2≈466,18.44^2≈340,19.24^2≈370)$
 

答案： 【解析】：本题主要考查勾股定理的应用，通过将长方体的相关面展开在同一平面上，利用勾股定理求出不同展开情况下点$A$到点$B$的距离，再比较大小得出最短路线。
把长方体的面展开，会有三种不同的情况：
情况一：将四边形$ACDF$与四边形$DCEB$展开在同一平面上，此时在$Rt\triangle AEB$中，$AE$为底面长方形的长与宽之和，$BE$为长方体的高，根据勾股定理$AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}$，可求出$AB$的值。
情况二：将四边形$ACDF$与四边形$FDBG$展开在同一平面上，此时在$Rt\triangle ACB$中，$AC$为底面长方形的长，$BC$为底面长方形的宽与高之和，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，可求出$AB$的值。
情况三：将四边形$AHGF$与四边形$FDBG$展开在同一平面上，此时在$Rt\triangle ABD$中，$AD$为底面长方形的长与高之和，$DB$为底面长方形的宽，根据勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+DB^{2}$，可求出$AB$的值。
最后比较三种情况下$AB$的值，最小的即为最短路线长。
【答案】：
解：
(1)如图①，将四边形$ACDF$与四边形$DCEB$展开在同一平面上，连接$AB$。
在$Rt\triangle AEB$中，根据勾股定理，得$AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}=5^{2}+(12 + 9)^{2}=25 + 441 = 466$，$AB=\sqrt{466}\approx21.59$。
(2)如图②，将四边形$ACDF$与四边形$FDBG$展开在同一平面上，连接$AB$。
在$Rt\triangle ACB$中，根据勾股定理，得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=12^{2}+(9 + 5)^{2}=144+196 = 340$，$AB=\sqrt{340}\approx18.44$。
(3)如图③，将四边形$AHGF$与四边形$FDBG$展开在同一平面上，连接$AB$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理，得$AB^{2}=AD^{2}+DB^{2}=(5 + 12)^{2}+9^{2}=289+81 = 370$，$AB=\sqrt{370}\approx19.24$。
因为$340＜370＜466$，所以点$A$到点$B$的最短路线是图②所示的情况，此时$AB\approx18.44$。
答：点$A$到点$B$的最短路线长约是$18.44$。

如图3-3-15,在△ABC中,AC= BC,∠ACB= 90°,点D在BC上,BD= 3,DC= 1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为5。

答案： 5【解析】过点C作CO⊥AB,垂足为O,延长CO到C',使OC'=OC,连接DC',交AB于点P,连接CP(图略),此时DP+CP=DP+PC'=DC'的值最小。由DC=1,BC=4,得到BD=3,连接BC',由对称性可知BC'=BC=4,∠C'BA=∠CBA=45°,于是得到∠CBC'=90°,根据勾股定理,得DC'²=BD²+BC'²=3²+4²=25,所以DC'=5。

一题多解
如图3-3-16,AE= 5×3= 15(尺),BE= 20尺,在Rt△ABE中,由勾股定理,得$AB^2= AE^2+BE^2= 15^2+20^2= 25^2,$所以AB= 25尺。

答案： 解：由图可知，AE=5×3=15（尺），BE=20尺，∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB²=AE²+BE²。
AB²=15²+20²=225+400=625=25²。
所以AB=25尺。
答：AB的长为25尺。