《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

压轴1 与新概念有关的探究
例1
在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x,y轴的距离中的最大值等于点Q到x,y轴的距离中的最大值,则称P,Q两点为"等距点"。如图4-3所示的P,Q两点即为"等距点"。
(1)已知点A的坐标为(-3,1)。
①在点E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中,为点A的"等距点"的是E，F。
②若点B的坐标为B(m,m+6),且A,B两点为"等距点",则点B的坐标为(-3,3)。
(2)若$T_1(-1,-k-3),T_2(4,4k-3)$两点为"等距点",求k的值。
num= 图4-3
 

k的值是1或2。

答案： 【解析】：本题主要考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离、绝对值的意义以及分类讨论思想。
（1）① 对于点$A(-3,1)$，其到$x$轴的距离为$|1| = 1$，到$y$轴的距离为$|-3| = 3$，最大值为$3$。
对于点$E(0,3)$，其到$x$轴的距离为$|3| = 3$，到$y$轴的距离为$|0| = 0$，最大值为$3$。
对于点$F(3,-3)$，其到$x$轴的距离为$|-3| = 3$，到$y$轴的距离为$|3| = 3$，最大值为$3$。
对于点$G(2,-5)$，其到$x$轴的距离为$|-5| = 5$，到$y$轴的距离为$|2| = 2$，最大值为$5$。
因此，与点$A$为"等距点"的是$E$和$F$。
② 对于点$B(m,m+6)$，其到$x$轴的距离为$|m+6|$，到$y$轴的距离为$|m|$。
由于$A$，$B$两点为"等距点"，所以$\max(|m|, |m+6|) = 3$。
解这个方程，得到$m = -3$（因为当$m = -3$时，$|m| = 3$且$|m+6| = 3$，满足条件），
所以点$B$的坐标为$(-3,3)$。
（2）对于点$T_1(-1,-k-3)$，其到$x$轴的距离为$|-k-3|$，到$y$轴的距离为$1$，最大值为$\max(1, |-k-3|)$。
对于点$T_2(4,4k-3)$，其到$x$轴的距离为$|4k-3|$，到$y$轴的距离为$4$，最大值为$\max(4, |4k-3|)$。
由于$T_1$，$T_2$两点为"等距点"，所以需要分两种情况讨论：
当$|4k-3| \leq 4$时，有$|-k-3| = 4$，解得$k = -7$（舍去，因为不满足$|4k-3| \leq 4$）或$k = 1$。
当$|4k-3| ＞ 4$时，有$|4k-3| = |-k-3|$，解得$k = 2$或$k = 0$（舍去，因为不满足$|4k-3| ＞ 4$）。
【答案】：（1）①$E$，$F$；②$(-3,3)$；（2）$k$的值是$1$或$2$。