《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
如图1-3-8,已知AB= AC,CD⊥AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,CD,BE交于点O。那么AO平分∠BAC吗?为什么?

 

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定与性质。
先通过AAS证明$\triangle AEB\cong\triangle ADC$，得到$AE = AD$。
再利用HL证明$Rt\triangle AEO\cong Rt\triangle ADO$，进而得出$\angle DAO=\angle EAO$，证明$AO$平分$\angle BAC$。
证明：
连接$AO$。
因为$CD\perp AB$，$BE\perp AC$，所以$\angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEB$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}\angle AEB=\angle ADC（已证）\\\angle BAE = \angle CAD（公共角）\\AB = AC（已知）\end{cases}$
所以$\triangle AEB\cong\triangle ADC(AAS)$，所以$AE = AD$。
在$Rt\triangle AEO$和$Rt\triangle ADO$中，
$\begin{cases}AO = AO（公共边）\\AE = AD（已证）\end{cases}$
所以$Rt\triangle AEO\cong Rt\triangle ADO(HL)$，所以$\angle DAO=\angle EAO$，所以$AO$平分$\angle BAC$。
【答案】：证明：连接$AO$。
$\because CD\perp AB$，$BE\perp AC$，
$\therefore\angle ADC=\angle AEB = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEB$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}\angle AEB=\angle ADC（已证）\\\angle BAE=\angle CAD（公共角）\\AB = AC（已知）\end{cases}$
$\therefore\triangle AEB\cong\triangle ADC(AAS)$，
$\therefore AE = AD$。
在$Rt\triangle AEO$和$Rt\triangle ADO$中，
$\begin{cases}AO = AO（公共边）\\AE = AD（已证）\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle AEO\cong Rt\triangle ADO(HL)$，
$\therefore\angle DAO=\angle EAO$，
$\therefore AO$平分$\angle BAC$。

变式2 见答案P166
如图1-3-14,OA= OB,OC= OD,∠AOB= ∠BOC= ∠COD,线段AC交线段OB于点M,线段BD交线段OC于点N。求证:OM= ON。

答案： 证明:因为∠AOB=∠BOC=∠COD,所以∠AOC=∠BOD。在△AOC和△BOD中,{OA=OB,∠AOC=∠BOD,OC=OD}所以△AOC≌△BOD(SAS),所以∠A=∠B。在△AOM和△BON中,{∠AOM=∠BON,OA=OB,∠A=∠B}所以△AOM≌△BON(ASA),所以OM=ON。