《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1 2024·内江中考
如图1-5-19,在△ABC中,∠DCE= 40°,AE= AC,BC= BD,则∠ACB的度数为______。
 
100°

答案： 【解析】：本题可根据等腰三角形的性质设出相关角度，再结合三角形内角和定理以及平角的性质列出方程，进而求解$\angle ACB$的度数。
步骤一：根据等腰三角形的性质设未知数
已知$AE = AC$，$BC = BD$，根据等腰三角形两底角相等的性质，设$\angle AEC = \angle ACE = x$，$\angle BDC = \angle BCD = y$。
步骤二：分别表示出$\angle A$和$\angle B$
在$\triangle ACE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A = 180^{\circ} - 2x$；
在$\triangle BCD$中，同理可得$\angle B = 180^{\circ} - 2y$。
步骤三：根据三角形内角和定理和平角的性质列出方程
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ACB + \angle A + \angle B = 180^{\circ}$，将$\angle A = 180^{\circ} - 2x$，$\angle B = 180^{\circ} - 2y$代入可得：
$\angle ACB + (180^{\circ} - 2x) + (180^{\circ} - 2y) = 180^{\circ}$ ①
因为$\angle AEC$、$\angle BDC$与$\angle DCE$组成一个平角，平角为$180^{\circ}$，所以$\angle BDC + \angle AEC + \angle DCE = 180^{\circ}$，即$x + y + \angle DCE = 180^{\circ}$，那么$\angle DCE = 180^{\circ} - (x + y)$ ②。
步骤四：化简方程并求解$\angle ACB$
对①式进行化简可得：
$\angle ACB + 360^{\circ} - 2(x + y) = 180^{\circ}$
$\angle ACB = 180^{\circ} - 360^{\circ} + 2(x + y)$
$\angle ACB = 2(x + y) - 180^{\circ}$
由②式可得$x + y = 180^{\circ} - \angle DCE$，将其代入上式可得：
$\angle ACB = 2(180^{\circ} - \angle DCE) - 180^{\circ}$
$\angle ACB = 360^{\circ} - 2\angle DCE - 180^{\circ}$
$\angle ACB = 180^{\circ} - 2\angle DCE + 2\angle DCE - 180^{\circ} + \angle DCE×2 - \angle DCE×2$（此步为凑出$2\angle DCE$的形式）
$\angle ACB + 2\angle DCE = 180^{\circ}$
已知$\angle DCE = 40^{\circ}$，代入上式可得：
$\angle ACB + 2×40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ACB = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$\angle ACB = 100^{\circ}$
【答案】：$100^{\circ}$

如图1-5-20,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,若CD= 2,则AB= 4。

答案： 【解析】：
本题主要考查直角三角形斜边上的中线性质。
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$为斜边$AB$上的中线，根据上述性质可得$CD=\frac{1}{2}AB$。
又已知$CD = 2$，将其代入$CD=\frac{1}{2}AB$，通过变形可求出$AB$的长度。
【答案】：
解：
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$为斜边$AB$上的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}AB$，
∵$CD = 2$，
∴$AB = 2CD = 2×2 = 4$。
故答案为：$4$。

如图1-5-21,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点D在线段BC上,且∠B= 30°,∠ADC= 60°,BC= $3\sqrt{3}$,则BD的长度为$2\sqrt{3}$。

答案： 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，
∴∠DAC=90°-∠ADC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠B=30°，∠ADC=60°，
∴∠BAD=∠ADC-∠B=30°，
∴∠BAD=∠B，
∴BD=AD（等角对等边），
∴BD=2CD。
∵BC=3$\sqrt{3}$，BC=BD+CD=2CD+CD=3CD，
∴3CD=3$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴BD=2CD=2$\sqrt{3}$。
答：2$\sqrt{3}$