《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例5
如图1-3-11,已知△ABC中,AD是中线,AE是△ABD的中线,AB= CD,∠BAD= ∠BDA,求证:AC= 2AE。

 

 

答案： 【解析】：
本题考查全等三角形的判定和性质，通过构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等来证明$AC = 2AE$。
1. 首先，根据已知条件$AE$是$\triangle ABD$的中线，得到$BE = DE$，然后通过延长$AE$到$F$使$AE = FE$，构造出$\triangle ABE$和$\triangle FDE$全等的条件（$SAS$），从而得出$AB = FD$，$\angle BAE = \angle DFE$。
2. 接着，利用三角形外角的性质$\angle BDA=\angle DAC + \angle ACD$，结合$\angle BAE+\angle EAD=\angle BAD=\angle BDA$以及$\angle BAE = \angle DFE$，推出$\angle DFE+\angle EAD=\angle DAC + \angle ACD$，再由三角形内角和为$180^{\circ}$得到$\angle ADF=\angle ADC$。
3. 又因为$AB = CD$，所以$FD = CD$，进而在$\triangle ADF$和$\triangle ADC$中，根据$SAS$判定定理证明$\triangle ADF\cong\triangle ADC$，得出$AF = AC$。
4. 最后，因为$AF = AE + EF$且$AE = EF$，所以$AC = 2AE$。
【答案】：
证明：
如图1 - 3 - 12，延长$AE$到点$F$，使$AE = FE$，连接$DF$。
因为$AE$是$\triangle ABD$的中线，所以$BE = DE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FDE$中，
$\begin{cases}BE = DE\\\angle AEB=\angle FED\\AE = FE\end{cases}$
所以$\triangle ABE\cong\triangle FDE(SAS)$，
所以$AB = FD$，$\angle BAE=\angle DFE$。
因为$\angle BDA$是$\triangle ADC$的一个外角，
所以$\angle BDA=\angle DAC+\angle ACD$。
又因为$\angle BAE+\angle EAD=\angle BAD=\angle BDA$，$\angle BAE=\angle DFE$，
所以$\angle DFE+\angle EAD=\angle DAC+\angle ACD$。
由三角形的内角和为$180^{\circ}$可得$\angle ADF=\angle ADC$。
又因为$AB = CD$，所以$FD = CD$。
在$\triangle ADF$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}AD = AD\\\angle ADF=\angle ADC\\FD = CD\end{cases}$
所以$\triangle ADF\cong\triangle ADC(SAS)$，所以$AF = AC$。
因为$AF = AE + EF$，$AE = EF$，所以$AC = 2AE$。

变式5 见答案P166
如图1-3-17,AB= AE,AB⊥AE,AD= AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:DE= 2AM。

答案：
证明:延长AM至点N,使MN=AM,连接BN,如图所示 因为点M为BC的中点,所以BM=CM。在△NMB和△AMC中,{BM=CM,∠BMN=∠CMA,MN=MA}所以△NMB≌△AMC(SAS),所以BN=CA=AD,∠NBM=∠C,所以∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180° - ∠BAC=∠EAD。在△ABN和△EAD中,{AB=EA,∠ABN=∠EAD,BN=AD}所以△ABN≌△EAD(SAS),所以NA=DE。又因为NA=2AM,所以DE=2AM。