《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1-2
如图3 -1 -5,在△ABC中,AB= 13,BC= 14,AC= 15,求边BC上的高AD 的长｡

 

答案： 【解析】：本题主要考查勾股定理的应用。
在两个直角三角形中，利用勾股定理表示出$AD^2$。
在$Rt \bigtriangleup ABD$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 13^2 - x^2$。
在$Rt \bigtriangleup ACD$中，$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 15^2 - (14 - x)^2$。
由于两个表达式都等于$AD^2$，因此可以令它们相等，得到方程$13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2$。
解这个方程，可以得到$x = 5$。
将$x = 5$代入$AD^2 = 13^2 - x^2$，得到$AD^2 = 144$，所以$AD = 12$。
【答案】：
设$BD = x$，则$CD = 14 - x$。
在$Rt \bigtriangleup ABD$中，由勾股定理得：
$AD^{2} + x^{2} = 13^{2}$
所以$AD^{2} = 13^{2} - x^{2}$
同理，在$Rt \bigtriangleup ACD$中，
$AD^{2} = 15^{2} - (14 - x)^{2}$
所以$13^{2} - x^{2} = 15^{2} - (14 - x)^{2}$
展开并整理得：
$169 - x^{2} = 225 - (196 - 28x + x^{2})$
$169 - x^{2} = 225 - 196 + 28x - x^{2}$
$169 - x^{2} = 29 + 28x - x^{2}$
$28x = 140$
$x = 5$
将$x = 5$代入$AD^{2} = 13^{2} - x^{2}$得：
$AD^{2} = 13^{2} - 5^{2}$
$AD^{2} = 169 - 25$
$AD^{2} = 144$
所以$AD = \sqrt{144} = 12$
故边$BC$上的高$AD$的长为$12$。

例2
如图3-1-6,分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形,若斜边AB= 4,则图中阴影部分的面积为(B)｡
 
A.4
B.8
C.10
D.12
 

答案： 解：设等腰直角三角形的斜边长为$c$，则其面积为$\frac{1}{4}c^{2}$。
所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{4}AB^{2}$，$S_{\triangle ACH}=\frac{1}{4}AC^{2}$，$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{4}BC^{2}$。
因为$\triangle ABC$是直角三角形，由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$\frac{1}{4}AC^{2}+\frac{1}{4}BC^{2}=\frac{1}{4}AB^{2}$，即$S_{\triangle ACH}+S_{\triangle BCF}=S_{\triangle ABE}$。
已知$AB = 4$，则$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{4}×4^{2}=4$，所以$S_{阴影}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ACH}+S_{\triangle BCF}=2S_{\triangle ABE}=2×4 = 8$。
答：B

解答“弦图”有关的问题时,应紧紧抓住大正方形的面积等于小正方形与四个全等直角三角形面积之和,结合完全平方公式进行相应的变形计算｡
例3 2025·无锡校级一模
如图3-1-7,“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形围成,在Rt△ABC中,AC= b,BC= a,$\angle ACB= 90^{\circ}$,若图中大正方形的面积为60,小正方形的面积为10,则$(a + b)^{2}$的值为______｡

 
110

答案： 【解析】：
本题可根据“弦图”的性质，结合大正方形和小正方形的面积，通过完全平方公式来求解$(a + b)^{2}$的值。
步骤一：分析大正方形和小正方形的面积与$a$、$b$的关系
已知大正方形的面积为$60$，由“弦图”的性质可知，大正方形的边长为直角三角形斜边的长度，设斜边为$c$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得$c^{2}=60$。
小正方形的边长为$(b - a)$，同样根据正方形面积公式，可得小正方形的面积为$(b - a)^{2}=10$。
步骤二：根据勾股定理得到$a$、$b$、$c$的关系
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，因为$c^{2}=60$，所以$a^{2}+b^{2}=60$。
步骤三：对$(b - a)^{2}=10$进行展开
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将$(b - a)^{2}=10$展开可得$b^{2}-2ab + a^{2}=10$。
步骤四：求出$2ab$的值
把$a^{2}+b^{2}=60$代入$b^{2}-2ab + a^{2}=10$中，可得$60 - 2ab = 10$，移项可得$2ab = 60 - 10 = 50$。
步骤五：计算$(a + b)^{2}$的值
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，把$a^{2}+b^{2}=60$，$2ab = 50$代入可得：$(a + b)^{2}=60 + 50 = 110$。
【答案】：$110$