《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3
如图1-2-10,A,E,C三点在同一直线上,且△ABC≌△DAE。
(1)线段DE,CE,BC有怎样的数量关系？请说明理由。
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时,DE//BC,并证明。

 

答案： 【解析】：
（1）考查全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等得到$AE = BC$，$DE = AC$，再结合$A$，$E$，$C$三点共线得出$AC = AE + CE$，进而推出$DE$，$CE$，$BC$的数量关系。
（2）考查全等三角形的性质和平行线的判定，先根据全等三角形对应角相等得到$\angle AED=\angle C$，再结合平行线的性质和判定，当$\angle AED = 90^{\circ}$时，证明$DE// BC$。
【答案】：
(1)$DE = CE + BC$。理由如下：
$\because\triangle ABC\cong\triangle DAE$，
$\therefore AE = BC$，$DE = AC$。
$\because A$，$E$，$C$三点在同一直线上，
$\therefore AC = AE + CE$，
$\therefore DE = CE + BC$。
(2)猜想：当$\triangle ADE$满足$\angle AED = 90^{\circ}$时，$DE// BC$。
证明：
$\because\triangle ABC\cong\triangle DAE$，
$\therefore\angle AED=\angle C$。
$\because DE// BC$，
$\therefore\angle DEC=\angle C$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because\angle AED + \angle DEC = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle AED=\angle DEC = 90^{\circ}$，
所以当$\triangle ADE$满足$\angle AED = 90^{\circ}$时，$DE// BC$。

要判断三条线段之间的数量关系,一般从以下两个角度来考虑：(1)其中两条线段的和(或差)等于第三条线段；(2)其中两条线段的和(或差)大于(或小于)第三条线段。
变式3 见答案P165
如图1-2-14,D,B,C三点在同一条直线上,点E在AB上,且△ABC≌△DBE,∠D与∠A是对应角,试判断DE与AC的位置关系,并说明理由。

答案： 解:DE⊥AC。理由如下:延长DE交AC于点F(图略)。因为△ABC≌△DBE,所以∠A=∠D,∠ABC=∠DBE。又因为D,B,C三点在同一条直线上,所以∠ABC+∠DBE=180°,所以∠ABC=∠DBE=90°,所以△ABC是直角三角形,即∠A+∠C=90°。又因为∠A=∠D,所以∠D+∠C=90°,所以∠CFD=180°-(∠D+∠C)=90°,所以DF⊥AC,故DE⊥AC。