《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1
如图3-1,在△ABC中,已知∠ACB= 90°,BC= 8,AC= 6,CD是△ABC的中线,CE⊥AB。

(1)求AB的长；
(2)求CD的长；
(3)求DE的长。
 

答案：
(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
由勾股定理得AB²=AC²+BC²=6²+8²=36+64=100，
∴AB=10。
(2)解：
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5。
(3)解：
∵CE⊥AB，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CE，
即$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10·CE，
解得CE=$\frac{24}{5}$。
在Rt△CDE中，CD=5，CE=$\frac{24}{5}$，
由勾股定理得DE²=CD²-CE²=5²-($\frac{24}{5}$)²=25-$\frac{576}{25}$=$\frac{625-576}{25}$=$\frac{49}{25}$，
∴DE=$\frac{7}{5}$。

例2
如图3-2,△ABC为等腰三角形,AB= AC= 2。E为BC延长线上一点,且AE= 4。若BC:CE= 2:3,判断△ABE的形状,并说明理由。

 

答案： 【解析】：本题考查勾股定理的简单应用。
首先，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合‌，所以过点$A$作$AD\perp BC$，垂足为$D$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
然后，根据已知条件设$BC=2x$，则$CE=3x$，在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle ADE$中，利用勾股定理表示出$AD^2$，进而得到关于$x$的方程，求解$x$的值。
最后，求出$BE^2$的值，再计算$AB^2+AE^2$的值，通过比较发现$AB^2+AE^2=BE^2$，根据勾股定理的逆定理，判断$\triangle ABE$是直角三角形。
【答案】：$\triangle ABE$是直角三角形，理由如下：
如图，过点$A$作$AD\perp BC$，垂足为$D$。
因为$\triangle ABC$为等腰三角形，$AB=AC=2$，
所以$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
设$BC=2x$，则$CE=3x$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=4-x^2$，
在$Rt\triangle ADE$中，$AD^2=AE^2-DE^2=16-(2x+3x)^2=16-25x^2$，
所以$16-25x^2=4-x^2$，
$24x^2=12$，
解得$x^2=\frac{4}{5}$。
所以$BE^2=(2x + 3x)^2=25x^2=25×\frac{4}{5}=20$，
又因为$AB^2+AE^2=2^2 + 4^2=20$，
所以$AB^2+AE^2=BE^2$，
所以$\triangle ABE$是直角三角形。