《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

4.(2024·眉山中考·能力点3)如图3-1-22①是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成的｡若图3-1-22①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图3-1-22②,则图3-1-22②中大正方形的面积为( )｡


A.24
B.36
C.40
D.44

答案：
D 【解析】如图，直角三角形的两直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。

图①中大正方形的面积是 24，所以 a²+b²=c²=24。因为小正方形的面积是 4，所以(a - b)²=a²+b² - 2ab=4，所以 ab=10，所以图②中大正方形的面积=c²+4×1/2ab=24+2×10=44。

5.(能力点4)如图3-1-23,在长方形ABCD纸片中,点E是BC边的中点,沿直线AE折叠,点B落在长方形内部的点$B'$处,连接$AB'$并延长交CD于点F｡已知CF= 4,DF= 5,求AD的长｡

答案：
解：连接 EF，如图。

因为 CF=4，DF=5，所以 CD=CF+DF=9。因为四边形 ABCD 为长方形，所以 AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，由折叠的性质可得 AB'=AB=9，B'E=BE，∠AB'E=∠B=90°，所以∠FB'E=90°=∠C。因为点 E 为 BC 的中点，所以 BE=CE，所以 B'E=CE。在 Rt△FB'E 和 Rt△FCE 中，{B'E=CE,EF=EF}，所以 Rt△FB'E≌Rt△FCE(HL)，所以 B'F=CF=4，所以 AF=AB'+B'F=13。在 Rt△AFD 中，AD²=AF² - DF²=13² - 5²=144，所以 AD=12。

6.(能力点5)如图3-1-24,在△ABC中,点E在边AC上,EB= EA,∠A= 2∠CBE,CD垂直于BE的延长线,垂足为D,BD= 8,AC= 11,求$BC^{2}$的值｡

答案： 解：延长 BD 到点 F，使得 DF=BD(图略)。因为 CD⊥BF，所以△BCF 是等腰三角形，所以 BC=CF，所以∠CBE=∠F。因为 EB=EA，所以∠EBA=∠A=2∠CBE。过点 C 作 CH//AB，交 BF 于点 H(图略)，所以∠CHD=∠EBA=2∠CBE=2∠F，∠A=∠ECH，所以∠CHD=∠ECH。又∠CHD=∠F+∠HCF，所以∠F=∠HCF，所以 EH=CE，CH=HF。因为 EA=EB，所以 AC=BH。因为 BD=8，AC=11，所以 DH=BH - BD=AC - BD=3，所以 CH=HF=DF - DH=BD - DH=8 - 3=5。在 Rt△CDH 中，由勾股定理得 CD=4，在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 BC²=8²+4²=80。

7.(知识点1·能力点2)在△ABC中,BC= a,AC= b,AB= c｡若∠C= 90°,如图3-1-25①,根据勾股定理,得$a^{2}+b^{2}= c^{2}$;若△ABC不是直角三角形,而是如图3-1-25②③所示的锐角三角形和钝角三角形｡

(1)请你类比勾股定理,猜想$a^{2}+b^{2}与c^{2}$的关系:如图3-1-25②中,$a^{2}+b^{2}$______$c^{2}$;如图3-1-25③中,$a^{2}+b^{2}$______$c^{2}$｡
(2)证明你在(1)中猜想的结论｡
(3)在图3-1-25②中,若AB的长为140,AC的长为130,BC的长为150,求△ABC的面积｡

答案：

(1)＞ ＜
(2)证明：如图①，作 BC 边上的高 AD，垂足为 D，设 CD=x，则在 Rt△ACD 中，AD²=b² - x²，在 Rt△ABD 中，AD²=c²-(a - x)²，所以 b² - x²=c²-(a - x)²，整理可得 a²+b²=c²+2ax。因为 2ax＞0，所以 a²+b²＞c²。
(3)解：如图①，作 BC 边上的高 AD，垂足为 D，设 CD=x，则 BD=150 - x，在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 AD²=AB² - BD²，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AD²=AC² - CD²，所以 AB² - BD²=AC² - CD²，即 140²-(150 - x)²=130² - x²，解得 x=66，所以 AD²=130² - 66²=112²，所以 AD=112，故△ABC 的面积为 1/2BC·AD=1/2×150×112=8400。