《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3-2 2024·泰安中考
如图1-5-4,直线l//m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE= 21°,则∠ACD的度数是(B)。

A.45°
B.39°
C.29°
D.$21^{\circ }$
 

答案： 【解析】：本题可先根据等边三角形的性质求出$\angle BAC$的度数，再利用平行线的性质求出$\angle BAF$的度数，进而求出$\angle CAF$的度数，最后再次利用平行线的性质求出$\angle ACD$的度数。
步骤一：根据等边三角形的性质求出$\angle BAC$的度数
因为$\triangle ABC$是等边三角形，根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于$60^{\circ}$，所以$\angle BAC = 60^{\circ}$。
步骤二：利用平行线的性质求出$\angle BAF$的度数
已知过点$A$作$AF// l$，且直线$l// m$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$AF// m$。
又因为$AF// l$，$\angle ABE = 21^{\circ}$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle BAF = \angle ABE = 21^{\circ}$。
步骤三：求出$\angle CAF$的度数
由$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle BAF = 21^{\circ}$，可得$\angle CAF = \angle BAC - \angle BAF = 60^{\circ} - 21^{\circ} = 39^{\circ}$。
步骤四：利用平行线的性质求出$\angle ACD$的度数
因为$AF// m$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ACD = \angle CAF = 39^{\circ}$。
【答案】：B

例4
如图1-5-5,在△ABC中,AB= AC,∠B= 30°AD⊥AB,交BC于点D,AD= 2,求线段BCの长。
 

答案： 【解析】：本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质。
根据等腰三角形的性质，因为$AB=AC$，所以$\angle B=\angle C=30^\circ$。
根据三角形内角和定理，$\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$。
因为$AD\perp AB$，所以$\angle DAB=90^\circ$，$\angle DAC=\angle BAC-\angle DAB=120^\circ-90^\circ=30^\circ$。
因为$\angle C=\angle DAC$，所以$CD=AD=2$（等角对等边）。
在$Rt\triangle ABD$中，因为$\angle B=30^\circ$，所以$BD=2AD=4$（直角三角形中$30^\circ$角所对的直角边等于斜边的一半）。
$BC=BD+CD=4+2=6$。
【答案】：$BC=6$。