《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1 2024·凉山州中考
如图1-4-21,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },$DE垂直平分AB交BC于点D,若$△ACD$的周长为50 cm,则$AC+BC= ( C )$｡ 
 

A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm

答案： 【解析】：本题可根据线段垂直平分线的性质，得出$AD = DB$，再结合$\triangle ACD$的周长，进而求出$AC + BC$的值。
步骤一：分析线段垂直平分线的性质
已知$DE$垂直平分$AB$交$BC$于点$D$，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$AD = DB$。
步骤二：分析$\triangle ACD$的周长
因为$\triangle ACD$的周长为$50cm$，根据三角形周长的定义：三角形的周长是三角形三边长度之和，所以$\triangle ACD$的周长$=AC + AD + CD = 50cm$。
步骤三：将$AD = DB$代入周长表达式
把$AD = DB$代入$AC + AD + CD = 50cm$中，可得$AC + CD + DB = 50cm$。
又因为$CD + DB = BC$，所以$AC + BC = 50cm$。
【答案】：C

如图1-4-22,在△ABC中,$AB= 5$,AD平分$∠BAC$交BC于点D,$DE⊥AC$,垂足为E,$△ABD$的面积为5,则DE的长为(B)｡
A.1
B.2
C.3
D.5

答案： 【解析】：本题可根据角平分线的性质以及三角形面积公式来求解$DE$的长。
步骤一：利用角平分线的性质得到$DE$与$DF$的关系
已知$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AC$，$DF\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = DF$。
步骤二：根据三角形面积公式求出$DF$的长
已知$\triangle ABD$的面积为$5$，$AB = 5$，且$DF\perp AB$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle ABD$，以$AB$为底，$DF$为高，则有$\frac{1}{2}AB\cdot DF = 5$。
将$AB = 5$代入到$\frac{1}{2}AB\cdot DF = 5$中，得到$\frac{1}{2}×5× DF = 5$，
等式两边同时乘以$\frac{2}{5}$，解得$DF = 2$。
步骤三：根据$DE$与$DF$的关系求出$DE$的长
因为$DE = DF$，$DF = 2$，所以$DE = 2$。
【答案】：B

1.(2025·丹徒区一模·知识点1)如图1-4-23,在△ABC中,$∠ABC$的平分线与BC的垂直平分线交于点D,连接CD｡若$∠A= 70^{\circ },∠ABC= 60^{\circ }$,则$∠ACD$的度数为(B)｡A.$15^{\circ }$B.$20^{\circ }$C.$18^{\circ }$D.$22^{\circ }$

答案： B 【解析】
∵∠A=70°,∠ABC=60°,
∴∠ACB=180° - ∠A - ∠ABC=180° - 70° - 60°=50°。
∵ BD 是∠ABC 的平分线,∠ABC=60°,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
∵点 D 在 BC 的垂直平分线上,
∴ DB=DC,
∴∠DCB=∠DBC=30°,
∴∠ACD=∠ACB - ∠DCB=20°。

2.(2025·广陵区校级四模·知识点2)如图1-4-24,在△ABC中,AD平分$∠BAC,DE⊥AB$｡若$AC= 2,DE= 1$,则$S_{△ACD}= $______｡

答案：
1 【解析】过点 D 作 DF⊥AC,垂足为 F,如图所示。
∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ DE=DF=1,
∵ AC=2,
∴ S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DF=$\frac{1}{2}$×2×1=1。

3.(2025·如皋期末·知识点2)如图1-4-25,BD是△ABC的角平分线,$AB= 6,BC= 4$｡过点D作$DE⊥AB$,垂足为E,若$DE= 2$,则△ABC的面积为______｡

答案：
10 【解析】如图,过点 D 作 DF⊥BC,垂足为 F。
∵ BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,DE=2,
∴ DF=DE=2,
∴ S△ABC=S△ABD+S△CBD=$\frac{1}{2}$×6×2+$\frac{1}{2}$×4×2=10。