《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3
如图3-4,△ABC的面积为84,BC= 21,AB= 10,现将△ABC沿直线BC向右平移a(0＜a＜21)个单位长度到△DEF的位置。

(1)求线段DF的长；
(2)连接AE,当△ABE是等腰三角形时,求a的值。
 
(1)过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵△ABC的面积为84，
∴$\frac{1}{2}×BC×AM=84$，即$\frac{1}{2}×21×AM=84$，解得AM=8。
在Rt△ABM中，$BM^2=AB^2-AM^2=10^2-8^2=36$，
∴BM=6，
∴CM=BC-BM=21-6=15。
在Rt△ACM中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17$。
由平移性质得DF=AC=17。
(2)当AB=BE=10时，a=10；
当AB=AE=10时，BE=2BM=12，a=12；
当AE=BE=a时，ME=a-6，
在Rt△AME中，$AM^2+ME^2=AE^2$，即$8^2+(a-6)^2=a^2$，
解得$a=\frac{25}{3}$。
综上，a的值为10或12或$\frac{25}{3}$。

答案：
(1)过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵△ABC的面积为84，
∴$\frac{1}{2}×BC×AM=84$，即$\frac{1}{2}×21×AM=84$，解得AM=8。
在Rt△ABM中，$BM^2=AB^2-AM^2=10^2-8^2=36$，
∴BM=6，
∴CM=BC-BM=21-6=15。
在Rt△ACM中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17$。
由平移性质得DF=AC=17。
(2)当AB=BE=10时，a=10；
当AB=AE=10时，BE=2BM=12，a=12；
当AE=BE=a时，ME=a-6，
在Rt△AME中，$AM^2+ME^2=AE^2$，即$8^2+(a-6)^2=a^2$，
解得$a=\frac{25}{3}$。
综上，a的值为10或12或$\frac{25}{3}$。

例4
如图3-6,有一块直角三角形的草地,量得两直角边BC,AC分别为6m,8m,现在要将草地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形,则扩充后等腰三角形草地的面积为 48m²或40m²或100/3m²。

 

 

答案： 解：在Rt△ABC中，AC=8m，BC=6m，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10m。
分三种情况讨论：
(1)当AD=AB时，AC⊥BD，CD=BC=6m，BD=BC+CD=12m，S△ABD=1/2×BD×AC=1/2×12×8=48(m²)；
(2)当AB=BD时，BD=AB=10m，S△ABD=1/2×BD×AC=1/2×10×8=40(m²)；
(3)当AD=BD时，设AD=BD=xm，则CD=(x-6)m，在Rt△ACD中，由勾股定理得x²=(x-6)²+8²，解得x=25/3，S△ABD=1/2×BD×AC=1/2×25/3×8=100/3(m²)。
综上，扩充后等腰三角形草地的面积为48m²或40m²或100/3m²。
答：48m²或40m²或100/3m²