《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例5
如图1-5-12,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上的动点,由点A向点C运动(与点A,C不重合),Q是CB延长线上的动点,与点P同时以相同的速度由点B沿CB的延长线运动(点Q不与点B重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,连接PQ交AB于点D。

(1)当∠CQP= 30°时,求AP的长。
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变,求出线段ED的长；如果发生变化,请说明理由。
  

答案：

(1)解：设AP=BQ=x，则PC=6-x，QC=6+x。
在△QCP中，∠CQP=30°，∠C=60°，
∴∠CPQ=180°-30°-60°=90°，
∴QC=2PC，即6+x=2(6-x)，
解得x=2，
∴AP=2。
(2)解：线段ED的长不变，ED=3。
过点P作PF//QC交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，PF//QC，
∴△AFP是等边三角形，
∴AP=PF，∠PFD=∠QBD。
∵AP=BQ，
∴PF=BQ。
在△PFD和△QBD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠PFD=∠QBD,\\ ∠FDP=∠BDQ,\\ PF=QB,\end{array}\right.$
∴△PFD≌△QBD(AAS)，
∴BD=FD。
∵△AFP是等边三角形，PE⊥AF，
∴AE=EF，
∴ED=EF+FD=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AB=3。

变式5 见答案P169
(1)如图1-5-18①,P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线于点R。请观察AR与AQ,它们有何关系?并证明你的猜想。
(2)如果点P沿着底边BC所在的直线,按由点C向点B的方向运动到CB的延长线上时,(1)中所得的结论还成立吗?请你在图1-5-18②中完成图形,并给予证明。

答案：
5.解:
(1)AR=AQ,证明如下:
因为AB=AC,所以∠B=∠C。
因为RP⊥BC,
所以∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°,
所以∠BQP=∠PRC。
因为∠BQP=∠AQR,
所以∠PRC=∠AQR,所以AR=AQ。
(2)
(1)中所得的结论成立。
证明如下:如图,

因为AB=AC,
所以∠ABC=∠C。
因为∠ABC=∠PBQ,
所以∠PBQ=∠C。
因为RP⊥BC,
所以∠PBQ+∠Q=∠C+∠R=90°,
所以∠Q=∠R,
所以AR=AQ。