《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

5.(能力点4)张老师在一次"探究性学习"课中,设计了如下数表:
|n|2|3|4|5|...|
|a|$2^{2}-1$|$3^{2}-1$|$4^{2}-1$|$5^{2}-1$|...|
|b|4|6|8|10|...|
|c|$2^{2}+1$|$3^{2}+1$|$4^{2}+1$|$5^{2}+1$|...|
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n($n＞1$)的代数式表示:a=$n^{2}-1$,b=$2n$,c=$n^{2}+1$。
(2)猜想:以a,b,c为三边长的三角形是不是直角三角形?并验证你的猜想。
(2)该三角形是直角三角形。验证:因为$(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$,$(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$,所以$(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=(n^{2}+1)^{2}$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,以 a,b,c 为三边长的三角形是直角三角形。

答案：
(1)$n^{2}-1$ $2n$ $n^{2}+1$
(2)该三角形是直角三角形。验证:因为$(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$,$(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$,所以$(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=(n^{2}+1)^{2}$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,以 a,b,c 为三边长的三角形是直角三角形。

6.(能力点3)如图3-2-11,在$\triangle ABC$中,AC= 21,BC= 13,D是AC边上的一点,BD= 12,AD= 16。
(1)求证:$BD\perp AC$。
(2)若E是边AB上的动点,求线段DE的长的最小值。

答案：
(1)证明:因为$AC=21$,$AD=16$,所以$CD=AC - AD=5$,所以$BD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169=13^{2}=BC^{2}$,所以△BDC 为直角三角形,且$∠BDC=90^{\circ}$,所以$BD⊥AC$。
(2)解:当$DE⊥AB$时,线段 DE 最短。因为$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=16^{2}+12^{2}=20^{2}$,所以$AB=20$。因为$\frac{1}{2}AD\cdot DB=\frac{1}{2}AB\cdot DE$,所以$DE=\frac{16×12}{20}=9.6$,所以线段 DE 的长的最小值为 9.6。