《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3
在一次数学探究活动课中,某同学有一块长方形纸片ABCD(如图3-13),已知AD= 13,AB= 5,M为射线AD上的一个动点,将△ABM沿BM折叠得到△NBM,若△NBC是直角三角形,则所有符合条件的M点所对应的AM的长的和为 26。

 

答案： 解：因为四边形ABCD为长方形，所以∠BAD=90°。
因为将△ABM沿BM折叠得到△NBM，所以∠MAB=∠MNB=90°，AB=BN=5。
△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°不符合题意，只有∠BNC=90°。
①当∠BNC=90°，N在长方形ABCD内部时：
∠BNC=∠MNB=90°，故M，N，C三点共线。
BC=AD=13，在Rt△BNC中，NC=√(BC²-BN²)=√(13²-5²)=12。
设AM=MN=x，则MD=13-x，MC=12+x。
在Rt△MDC中，CD²+MD²=MC²，即5²+(13-x)²=(12+x)²，解得x=1。
②当∠BNC=90°，N在长方形ABCD外部时：
∠BNC=∠MNB=90°，故M，C，N三点共线。
NC=12，设AM=MN=y，则MD=y-13，MC=y-12。
在Rt△MDC中，CD²+MD²=MC²，即5²+(y-13)²=(y-12)²，解得y=25。
所有符合条件的AM长的和为1+25=26。
答：26