《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3-1
如图1-4-8,$∠DAC$的平分线交BC边的垂直平分线于点P,$PD⊥AB$,垂足为D｡(1)过点P作$PE⊥AC$,垂足为E,求证:$BD= CE$;(2)若$AB= 6cm,AC= 10cm$,求AD的长｡
 

答案：
(1)证明：连接PB，PC。
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB=PC。
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE。
在Rt△PDB和Rt△PEC中，
$\left\{\begin{array}{l} PB=PC\\ PD=PE\end{array}\right.$
∴Rt△PDB≌Rt△PEC(HL)，
∴BD=CE。
(2)解：在Rt△PDA和Rt△PEA中，
$\left\{\begin{array}{l} PD=PE\\ AP=AP\end{array}\right.$
∴Rt△PDA≌Rt△PEA(HL)，
∴AD=AE。
设AD=AE=x cm，
∵AB=6 cm，AC=10 cm，
∴BD=AB+AD=6+x，CE=AC-AE=10-x。
∵BD=CE，
∴6+x=10-x，
解得x=2。
即AD的长为2 cm。

例3-2
如图1-4-9,在"V"形公路($∠AOB$)内部有两个村庄C和D,现要建一个果品加工厂M,使其到"V"形公路的距离相等,且使C,D两村的工人上下班的路程一样,用尺规在图上作出果品加工厂M的位置｡(保留作图痕迹)


 

答案： 解：作图步骤如下：
1. 作∠AOB的角平分线；
2. 连接CD，作线段CD的垂直平分线；
3. 角平分线与垂直平分线的交点即为点M。
如图1-4-10，点M即为所求。

变式4见答案P167
如图1-4-19,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,FE垂直平分AD,交AD于点E,交BC的延长线于点F,求证:∠B= ∠CAF｡

答案： 证明:因为 FE 垂直平分 AD,所以 FA=FD。在△AEF 和△DEF 中,{AE=DE,FA=FD,FE=FE,所以△AEF≌△DEF(SSS),所以∠FAD=∠FDA。因为 AD 为∠BAC 的平分线,所以∠BAD=∠CAD。又∠FAD=∠CAF+∠CAD,∠FDA=∠B+∠BAD,所以∠B=∠CAF。