《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
如图1-5-2,在△ABC中,∠A= 36°,AB= AC,BD是△ABC的角平分线,点E在AB上,且BE= BC,则图中等腰三角形共有(D)。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

 

答案： 【解析】：本题可根据等腰三角形的判定条件（等角对等边），结合已知条件逐步分析出图中所有的等腰三角形。
判定$\triangle ABC$是等腰三角形：
已知$AB = AC$，根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，可知$\triangle ABC$是等腰三角形。
判定$\triangle ABD$是等腰三角形：
因为$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC = \angle C=\frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2}= 72^{\circ}$。
又因为$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle ABD = \angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$。
由于$\angle A = \angle ABD = 36^{\circ}$，根据等腰三角形的判定条件（等角对等边），可得$BD = AD$，所以$\triangle ABD$是等腰三角形。
判定$\triangle BCD$是等腰三角形：
在$\triangle BCD$中，已知$\angle DBC = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle DBC - \angle C = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} = 72^{\circ}$。
因为$\angle C = \angle BDC = 72^{\circ}$，根据等腰三角形的判定条件（等角对等边），可得$BD = BC$，所以$\triangle BCD$是等腰三角形。
判定$\triangle BDE$是等腰三角形：
已知$BE = BC$，由前面已证得$BD = BC$，所以$BD = BE$，根据等腰三角形的定义，可知$\triangle BDE$是等腰三角形。
判定$\triangle ADE$是等腰三角形：
在$\triangle BDE$中，因为$BD = BE$，所以$\angle BED = \frac{180^{\circ} - \angle DBE}{2}=\frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2}= 72^{\circ}$。
则$\angle ADE = \angle BED - \angle A = 72^{\circ} - 36^{\circ} = 36^{\circ}$，因为$\angle A = \angle ADE = 36^{\circ}$，根据等腰三角形的判定条件（等角对等边），可得$DE = AE$，所以$\triangle ADE$是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle BCD$、$\triangle BDE$、$\triangle ADE$，共$5$个。
【答案】：D

例3-1
如图1-5-3,△ABC是等边三角形,AD为中线,AD= AE,点E在边AC上求∠EDC的度数。
  

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，AD为中线，
∴AD⊥BC，∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°，∠ADC = 90°。
∵AD = AE，
∴∠ADE = ∠AED。
在△ADE中，∠CAD + ∠ADE + ∠AED = 180°，
∴∠ADE = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°。
∴∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90° - 75° = 15°。
答：∠EDC的度数为15°。