《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例4
如图3-1-8,将长方形纸片ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线上的点$D'$处｡若AB= 3,AD= 4,求ED的长｡

 

答案： 【解析】：本题主要考查勾股定理的应用、折叠的性质以及一元一次方程的建立与求解。
首先，根据长方形的性质，对边相等，所以$DC = AB = 3$，$BC = AD = 4$。
接着，利用勾股定理在直角三角形$ABC$中求出对角线$AC$的长度。
根据折叠的性质，$\triangle DEC$与$\triangle D'EC$是全等的，所以$D'C = DC = 3$，$ED = ED'$。
然后，根据$AC$和$D'C$的长度求出$AD'$的长度。
设$ED = x$，则$ED' = x$，$AE = AD - ED = 4 - x$。
在直角三角形$AED'$中，利用勾股定理建立方程并求解，得出$ED$的长度。
【答案】：解：
$\because$四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore DC = AB = 3$，$BC = AD = 4$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，根据勾股定理，有
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
$\therefore AC = 5$。
由于折叠的性质，$\bigtriangleup DEC \cong \bigtriangleup D'EC$，
$\therefore D'C = DC = 3$，$ED = ED'$。
$\therefore AD' = AC - D'C = 5 - 3 = 2$。
设$ED = x$，则$ED' = x$，$AE = AD - ED = 4 - x$。
在$Rt\bigtriangleup AED'$中，根据勾股定理，有
$(AD')^2 + (ED')^2 = AE^2$，
即$2^2 + x^2 = (4 - x)^2$。
解这个方程，我们得到
$4 + x^2 = 16 - 8x + x^2$，
$8x = 12$，
$x = \frac{3}{2}$。
$\therefore ED$的长为$\frac{3}{2}$。

变式2 见答案P172
如图3-1-13,折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F处,折痕为AE｡已知AB= 6 cm,BC= 10 cm,则EC的长为______cm｡

答案： 8/3 【解析】根据长方形的性质可得 AD=BC，AB=CD，根据折叠的性质可得 AF=AD，EF=DE，利用勾股定理列式求出 BF=8 cm，再求出 FC=2 cm，然后设 DE=x cm，表示出 EC=CD - DE=(6 - x)cm，在 Rt△CEF 中，利用勾股定理列方程(6 - x)²+2²=x²，解得 x=10/3，所以 EC=CD - DE=6 - 10/3=8/3(cm)。

利用数学建模思想解题的基本步骤:(1)根据题意构造数学模型;(2)在数学模型中利用代数或几何知识求解;(3)回归实际问题作答｡
例5 2024·姑苏区期末
如图3-1-9,一高层住宅发生火灾,消防车立即赶到距大厦9 m处(车尾到大厦墙面),升起云梯到火灾窗口,已知云梯长15 m,云梯底部距地面3 m,发生火灾的住户窗口距离地面有多高?

 

由题意可知$AE = CD = 3m$，$AC = 9m$，$AB = 15m$；在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$BC^{2}+9^{2}=15^{2}$，$BC^{2}=15^{2}-9^{2}=144$，所以$BC = 12m$，所以$BD = BC + CD = 12 + 3 = 15(m)$，即发生火灾的住户窗口距离地面$15m$。

答案： 【解析】：本题主要考查勾股定理的实际应用。通过构造直角三角形，利用勾股定理求出未知边长，再结合已知条件求出最终结果。
根据题意构造数学模型：
观察图形可知，$AC$、$BC$和$AB$构成一个直角三角形$ABC$，其中$AB$为云梯长度，$AC$为消防车距大厦的距离，$BC$为窗口到$C$点（云梯底部在地面的垂直投影点）的距离。
利用勾股定理求解：
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
已知$AC = 9m$，$AB = 15m$，代入可得$BC^{2}+9^{2}=15^{2}$。
即$BC^{2}=15^{2}-9^{2}=225 - 81 = 144$，
所以$BC=\sqrt{144}=12m$。
回归实际问题作答：
因为$AE = CD = 3m$（云梯底部距地面的高度），所以$BD = BC + CD = 12 + 3 = 15m$。
即发生火灾的住户窗口距离地面$15m$。
【答案】：由题意可知$AE = CD = 3m$，$AC = 9m$，$AB = 15m$；
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
即$BC^{2}+9^{2}=15^{2}$，$BC^{2}=15^{2}-9^{2}=144$，
所以$BC = 12m$，
所以$BD = BC + CD = 12 + 3 = 15(m)$，
即发生火灾的住户窗口距离地面$15m$。