《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

已知:如图1-3-18,点A,B,C,D在同一条直线上,AE//BF,AE= BF。若①或③,则AB= CD。请从①CE//DF;②CE= DF;③∠E= ∠F这三个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由。

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定定理，题目给出了AE//BF，那么根据两直线平行同位角相等，可以得出∠A=∠FBD，题目所给的条件中还有AE=BF，即已经知道了两个三角形中有两个角和其中一角的对边分别相等，那么根据全等三角形的判定定理AAS和ASA，只要再知道另一组对应角相等或者知道这两个角的夹边相等即可推出两个三角形全等，进而推出AC=BD，因为AC-BC=BD-BC，所以AB=CD。再看题目所给的三个条件，①中CE//DF可以根据两直线平行，同位角相等得到∠ACE=∠D，此时符合全等三角形判定定理AAS的条件，能推出全等；条件②中CE=DF，构成的是两边和其中一边的对角相等，不能推出两个三角形全等；条件③中∠E=∠F，此时符合全等三角形判定定理ASA的条件，能推出全等，所以应该选择条件①或③。以选择条件①为例，因为AE//BF，所以∠A=∠FBD，又因为CE//DF，所以∠ACE=∠D，在△AEC和△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}∠ACE=∠D\\∠A=∠FBD\\AE=BF\end{array}\right.$
所以△AEC≌△BFD（AAS），所以AC=BD，所以AC-BC=BD-BC，即AB=CD。选择条件③的证明过程类似，只是全等的判定定理用的是ASA。
【答案】：选择条件①或③。
理由：选择①，
∵AE//BF，
∴∠A=∠FBD。
∵CE//DF，
∴∠ACE=∠D。
在△AEC和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ACE=∠D\\∠A=∠FBD\\AE=BF\end{array}\right.$
∴△AEC≌△BFD（AAS）。
∴AC=BD。
∴AC-BC=BD-BC。
∴AB=CD。
选择③，
∵AE//BF，
∴∠A=∠FBD。
在△AEC和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠FBD\\AE=BF\\∠E=∠F\end{array}\right.$
∴△AEC≌△BFD（ASA）。
∴AC=BD。
∴AC-BC=BD-BC。
∴AB=CD。

例2 2024·乐山中考
如图1-3-19,AB是∠CAD的平分线,AC= AD,求证:∠C= ∠D。

 

答案： 证明：
∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ABC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AD,\\ ∠CAB=∠DAB,\\ AB=AB,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ABD(SAS)，
∴∠C=∠D。

1.(2022·扬州中考·知识点1,3,4·能力点3)如图1-3-20①②,小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了,需要重新配一块。小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为△ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是(C)。

A.AB,BC,CA
B.AB,BC,∠B
C.AB,AC,∠B
D.∠A,∠B,BC

答案： C 【解析】对于A,由SSS可证,故A正确;对于B,由SAS可证,故B正确;对于C,是SSA,无此判定定理;对于D,由AAS可证。