《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3
如图1-3-9,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使CD= CA,连接BC并延长到点E,使CE= CB,连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么?请结合解题过程,完成本题的证明。

 

证明：在△DEC和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=CA,\\∠DCE=∠ACB,\\CE=CB.\end{array}\right.$
所以$△DEC≌△ABC(SAS)$，
所以$DE=AB$。

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定定理。
题目已经给出了证明△DEC和△ABC全等所需的两个条件：$CD=CA$和$CE=CB$，以及一个角$∠DCE=∠ACB$。
根据三角形全等的判定定理，当两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等，即边角边（SAS）定理。
在△DEC和△ABC中，已知$CD=CA$，$CE=CB$，且$∠DCE=∠ACB$，所以根据SAS定理，△DEC和△ABC全等。
由于△DEC和△ABC全等，根据全等三角形的性质，对应边相等，即$DE=AB$。
【答案】：证明：在△DEC和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}CD=CA,\\∠DCE=∠ACB,\\CE=CB.\end{array}\right.$
所以$△DEC≌△ABC(SAS)$，
所以$DE=AB$。

例4 2025·江阴期中
如图1-3-10,AC//DF,AC= DF,AB= DE。求证:BC//EF。

 

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定及性质，以及平行线的性质与判定。
首先，根据题目条件$AC// DF$，利用平行线的性质，同位角相等，得出$\angle A = \angle FDE$。
然后，在$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup DEF$中，已知$AC = DF$，$\angle A = \angle FDE$，$AB = DE$，根据全等三角形的判定定理（SAS），可以判定$\bigtriangleup ABC\cong\bigtriangleup DEF$。
接着，根据全等三角形的性质，对应角相等，得出$\angle ABC = \angle E$。
最后，根据平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，得出$BC// EF$。
【答案】：证明：
∵$AC// DF$，
∴$\angle A = \angle FDE$。
在$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup DEF$中，
$\left\{\begin{array}{l}AC = DF,\\\angle A = \angle FDE,\\AB = DE.\end{array}\right.$
∴$\bigtriangleup ABC\cong\bigtriangleup DEF(SAS)$，
∴$\angle ABC = \angle E$，
∴$BC// EF$。

变式3 见答案P166
茗茗用同种材料制成的金属框架如图1-3-15所示,已知∠B= ∠E,AB= DE,BF= EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF= 3 cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为(C)。

A.51 cm
B.48 cm
C.45 cm

D.54 cm

答案： C

变式4 见答案P166
(2025·昆山一模)如图1-3-16,在△ABC中,D为AB上一点,E为AC的中点,连接DE并延长至点F,使得EF= ED,连接CF。
(1)求证:CF//AB;
(2)若∠A= 70°,∠F= 35°,BE⊥AC,求∠BED的度数。

答案：
(1)证明:
∵E为AC的中点,
∴AE=CE。在△AED和△CEF中,{AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE}
∴△AED≌△CEF(SAS),
∴∠A=∠ACF,
∴CF//AB。
(2)解:
∵∠A=∠ACF=70°,∠F=35°,
∴∠AED=∠CEF=180° - 70° - 35°=75°。
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠BED=90° - 75°=15°。