《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

4.(知识点2·能力点4)如图1-4-26,$∠B= ∠C= 90^{\circ }$,M是BC的中点,DM平分$∠ADC$,且$∠ADC= 120^{\circ }$,则$∠MAB$的度数为(A)｡A.$30^{\circ }$B.$35^{\circ }$C.$45^{\circ }$D.$60^{\circ }$

答案： A 【解析】作 MN⊥AD,垂足为 N(图略)。因为∠B=∠C=90°,所以 AB//CD。因为∠ADC=120°,所以∠DAB=60°。因为 DM 平分∠ADC,MC⊥CD,MN⊥AD,所以 MC=MN。因为 M 为 BC 的中点,所以 MC=MB,所以 MN=MB,所以 AM 平分∠DAB,所以∠MAB=$\frac{1}{2}$∠DAB=$\frac{1}{2}$×60°=30°。

5.(2025·盐城月考·知识点2·能力点2)如图1-4-27,$AB// CD$,PB和PC分别平分$∠ABC和∠DCB$,AD过点P,且与AB垂直,若$AD= 8cm,BC= 10cm$,则四边形ABCD的面积是______$cm^{2}$｡

答案：
40 【解析】如图,过点 P 作 PE⊥BC,垂足为 E,则∠BEP=∠CEP=90°。
∵AD⊥AB,AB//CD,
∴∠BAP=∠CDP=90°。
∵ PB 和 PC 分别平分∠ABC 和∠DCB,AD=8 cm,BC=10 cm,
∴ AP=PE,PE=DP,
∴ AP=PE=PD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×8=4(cm)。
∵ 在 Rt△EBP 和 Rt△ABP 中,{BP=BP,EP=AP,
∴ Rt△EBP≌Rt△ABP(HL),
∴ S△EBP=S△ABP,同理可得 Rt△ECP≌Rt△DCP,S△ECP=S△DCP,
∴ S四边形ABCD=2S△BCP=2×$\frac{1}{2}$BC·PE=2×$\frac{1}{2}$×10×4=40(cm²)。

6.(能力点4)如图1-4-28,AE是$∠BAC$的平分线,BD是△ABC中AC边的中线,AE,BD相交于点E,$EF⊥AB$,垂足为F,若$AB= 14,AC= 12,S_{△BDC}= 20$,则EF的长为______｡

2

答案： 2 【解析】过点 E 作 EG⊥AC,垂足为 G(图略),因为 AE 是∠BAC 的平分线,EF⊥AB,EG⊥AC,所以 EF=EG。设 EF=EG=x,因为 BD 是△ABC 中 AC 边的中线,所以 S△ABD=S△BDC=20,AD=$\frac{1}{2}$AC=6,所以 S△ABE+S△ADE=20,即$\frac{1}{2}$×14x+$\frac{1}{2}$×6x=20,解得 x=2,所以 EF=2。

7.(能力点4)如图1-4-29,在△ABC中,BE是$∠ABC$的平分线,$AD⊥BE$,垂足为D｡求证:$∠2= ∠1+∠C$｡

答案： 证明:延长 AD 交 BC 于点 F(图略)。因为 BE 是∠ABC 的平分线,所以∠ABD=∠FBD。因为 AD⊥BE,所以∠ADB=∠FDB=90°。在 Rt△ABD 和 Rt△FBD 中,{∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠ADB=∠FDB,所以 Rt△ABD≌Rt△FBD(ASA),所以∠2=∠AFB。又因为∠AFB=∠1+∠C,所以∠2=∠1+∠C。