《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例4
求下列各数的相反数、绝对值和倒数。
(1)$\sqrt{7}$;(2)$-\sqrt[3]{9}$;(3)$\frac{π}{2}$;(4)$1-\sqrt{2}$。
 

答案： 【解析】：
本题主要考察实数的相反数、绝对值和倒数的求解。
对于任意实数a，其相反数为-a；
当a ＞= 0时，其绝对值为a，当a ＜ 0时，其绝对值为-a；
其倒数为1/a（a不等于0）。
根据这些性质，我们可以分别求出给定各数的相反数、绝对值和倒数。
【答案】：
(1) $\sqrt{7}$的相反数是$-\sqrt{7}$，绝对值是$\sqrt{7}$，倒数是$\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
(2) $-\sqrt[3]{9}$的相反数是$\sqrt[3]{9}$，绝对值是$\sqrt[3]{9}$，倒数是$-\frac{1}{\sqrt[3]{9}}=-\frac{\sqrt[3]{81}}{9}$。
(3) $\frac{\pi}{2}$的相反数是$-\frac{\pi}{2}$，绝对值是$\frac{\pi}{2}$，倒数是$\frac{2}{\pi}$。
(4) $1-\sqrt{2}$的相反数是$\sqrt{2}-1$，绝对值是$\sqrt{2}-1$（因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，其绝对值为其相反数），倒数是$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=-1-\sqrt{2}$，（通过有理化分母得到）。

例5
比较下列各组实数的大小。
(1)$2\sqrt{15}与3\sqrt{6}$;(2)$\sqrt[3]{12}$与2;
(3)$-\sqrt{7}与-3\frac{2}{3}$。
 

答案：
(1)解：因为$(2\sqrt{15})^{2}=4×15=60$，$(3\sqrt{6})^{2}=9×6=54$，$60＞54$，所以$2\sqrt{15}＞3\sqrt{6}$。
(2)解：因为$2^{3}=8$，$8＜12$，所以$\sqrt[3]{12}＞2$。
(3)解：因为$(-\sqrt{7})^{2}=7$，$(-3\frac{2}{3})^{2}=(-\frac{11}{3})^{2}=\frac{121}{9}\approx13.44$，$7＜\frac{121}{9}$，所以$\sqrt{7}＜3\frac{2}{3}$，所以$-\sqrt{7}＞-3\frac{2}{3}$。

例6
计算。
(1)$\sqrt{１８}-４\sqrt{\frac{１}{２}}+\sqrt{３２}$；
(2)$\sqrt[３]{２４}-\vert １-\sqrt{２}\vert +(\sqrt{２}-１)^{０}+\sqrt{８}$。
 

答案： 【解析】：
题目考察的是实数的运算，包括开平方、开立方、绝对值和零指数幂的计算。
(1) 对于第一个表达式，需要先分别计算各项的值，然后再进行加减运算。
$\sqrt{18}$ 可以化简为 $3\sqrt{2}$，
$4\sqrt{\frac{1}{2}}$ 可以化简为 $4 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$，
$\sqrt{32}$ 可以化简为 $4\sqrt{2}$。
(2) 对于第二个表达式，需要先分别计算各项的值，注意零指数幂的计算，任何非零数的0次方都是1，然后再进行加减运算。
$\sqrt[3]{24}$ 保持原样，
$|1-\sqrt{2}|$ 可以化简为 $\sqrt{2} - 1$，
$(\sqrt{2}-1)^0$ 等于 1，
$\sqrt{8}$ 可以化简为 $2\sqrt{2}$。
【答案】：
(1)解：原式
$= \sqrt{18} - 4\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{32}$
$= 3\sqrt{2} - 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} + 4\sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$
$= 5\sqrt{2}$
(2)解：原式
$= \sqrt[3]{24} - |1 - \sqrt{2}| + (\sqrt{2} - 1)^{0} + \sqrt{8}$
$= 2\sqrt[3]{3} - (\sqrt{2} - 1) + 1 + 2\sqrt{2}$
$= 2\sqrt[3]{3} - \sqrt{2} + 1 + 1 + 2\sqrt{2}$
$= 2\sqrt[3]{3} + \sqrt{2} + 2$