《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

压轴1 与方根有关的规律探究
例1
将1,√2,√3,√6按如图2-2方式排列。规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数。

(1)求(5,4)与(12,3)表示的两数之和;
(2)从第1个数起,把连续若干个数的平方加起来,是否存在和为2022?若存在,指出共有多少个连续数的平方相加,最后一个数是多少?若不存在,请说明理由。

答案： 【解析】：
(1) 首先确定(5,4)和(12,3)分别表示的数。
观察数表，可以发现第m排有m个数，且排列方式是按照$1,\sqrt{2},\sqrt{3} ,\sqrt{6} $的顺序循环。
因此，(5,4)表示第5排第4个数，根据循环顺序，这个数是$\sqrt{2}$。
同样，(12,3)表示第12排第3个数。
由于前11排共有$\frac{1}{2} × 11 × (11 + 1) = 66$个数，
所以第12排第3个数是第69个数。
由于每4个数一个循环，$69 ÷ 4 = 17\ldots\ldots 1$，
所以(12,3)表示的数是1。
两数之和为$ 1 + \sqrt{2} $。
(2) 接下来探究是否存在连续若干个数的平方加起来和为2022。
首先计算每个数的平方：$1^2 = 1, (\sqrt{2} )^2 = 2, (\sqrt{3} )^2 = 3, (\sqrt{6} )^2 = 6$。
这四个数的平方和是$1 + 2 + 3 + 6 = 12$。
然后，用2022除以12，得到商168余6。
这意味着有168个完整的循环，每个循环包含4个数。
由于余数是6，且$1^2 +( \sqrt{2} )^2 +( \sqrt{3})^2 = 6$，
所以还有一个不完整的循环，包含前3个数。
因此，共有$168 × 4 + 3 = 675$个连续数的平方相加，且最后一个数为$ \sqrt{3} $。
【答案】：
(1) $1 + \sqrt{2} $；
(2) 存在，675个，$ \sqrt{3} $。

压轴2 与数轴有关的综合应用
例2
如图2-3,在数轴上a,b,c三个数所对应的点分别为A,B,C,已知b是最小的正整数,且a,c满足$(c-6)^2+$|a+2|= 0。

(1)求代数式$a^2+c^2-2ac$的值;
(2)若将数轴折叠,使得点A与点B重合,求与点C重合的点表示的数;
(3)请在数轴上确定一点D,使得AD= 2BD,求点D表示的数。

答案：
(1)解：因为$(c - 6)^2+\vert a + 2\vert=0$，所以$a + 2 = 0$，$c - 6 = 0$，解得$a=-2$，$c = 6$。
$a^2 + c^2-2ac=(-2)^2+6^2-2×(-2)×6=4 + 36 + 24=64$
(2)解：因为$b$是最小的正整数，所以$b = 1$。
点$A$与点$B$的中点表示的数为$\frac{-2 + 1}{2}=-0.5$。
设与点$C$重合的点表示的数为$x$，则$\frac{6 + x}{2}=-0.5$，解得$x=-7$
(3)解：设点$D$表示的数为$x$。
当点$D$在点$A$左侧时，$-2-x=2(1 - x)$，解得$x = 4$（舍去）。
当点$D$在$A$，$B$之间时，$x-(-2)=2(1 - x)$，解得$x = 0$。
当点$D$在点$B$右侧时，$x-(-2)=2(x - 1)$，解得$x = 4$。
综上，点$D$表示的数是$0$或$4$。