《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1
若点P(a,a-5)到x轴的距离为$m_1,$到y轴的距离为$m_2。$
(1)当a= 1时,直接写出$m_1+m_2= 5。$
(2)若$m_1+m_2= 7,$求出点P的坐标。
解：因为$m_1+m_2=7$，所以有$|a-5|+|a|=7$。分三种情况讨论：① 当$a＜0$时，$-a+5-a=7$，解得$a=-1$，所以点P的坐标为$(-1,-6)$。② 当$0≤a≤5$时，$-a+5+a=7$，无解，所以舍去。③ 当$a＞5$时，$a-5+a=7$，解得$a=6$，所以点P的坐标为$(6,1)$。综上，点P的坐标为$(-1,-6)$或$(6,1)$。
(3)若点P在第四象限,且$2m_1+km_2= 10(k$为常数),求出k的值。
解：因为点P在第四象限，所以$a＞0$，$a-5＜0$。所以，$m_1=|a-5|=5-a$，$m_2=|a|=a$。因为$2m_1+km_2=10$，所以$2(5-a)+ka=10$，即$ka-2a=0$。因为$a≠0$，所以$k=2$。

答案： 【解析】：
本题主要考察点到坐标轴的距离计算以及图形变换与坐标变化的知识点。
(1) 当$a=1$时，需要计算点P到x轴和y轴的距离，即$m_1$和$m_2$，然后求和。
(2) 已知$m_1+m_2=7$，需要根据点到x轴和y轴的距离公式，列出关于a的绝对值方程，然后分情况讨论求解。
(3) 已知点P在第四象限，根据第四象限的坐标特点，可以得到$m_1$和$m_2$的表达式，然后代入给定的等式$2m_1+km_2=10$，求解k的值。
【答案】：
(1)解：
当$a=1$时，点P的坐标为(1, -4)。
点P到x轴的距离$m_1$为$|-4|=4$，点P到y轴的距离$m_2$为$|1|=1$。
所以，$m_1+m_2=4+1=5$。
(2)解：
因为$m_1+m_2=7$，所以有$|a-5|+|a|=7$。
分三种情况讨论：
① 当$a＜0$时，$-a+5-a=7$，解得$a=-1$，所以点P的坐标为$(-1,-6)$。
② 当$0≤a≤5$时，$-a+5+a=7$，无解，所以舍去。
③ 当$a＞5$时，$a-5+a=7$，解得$a=6$，所以点P的坐标为$(6,1)$。
综上，点P的坐标为$(-1,-6)$或$(6,1)$。
(3)解：
因为点P在第四象限，所以$a＞0$，$a-5＜0$。
所以，$m_1=|a-5|=5-a$，$m_2=|a|=a$。
因为$2m_1+km_2=10$，所以$2(5-a)+ka=10$，即$ka-2a=0$。
因为$a≠0$，所以$k=2$。

专题2 图形变化与点的坐标变化
【专题解读】关于图形变化与点的坐标变化这类问题,主要是求在图形平移、对称变化下,图形上点的坐标变化。熟悉图形平移、对称变化前后的点的坐标变化特点是解决这类问题的关键。
例2 2022·贺州中考
如图4-1,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA= AB= 5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 (-4,8)。
num= 图4-1
 

答案： 【解析】：本题主要考查图形旋转的性质以及等腰三角形的性质，通过等腰三角形三线合一以及勾股定理求出点$B$的横坐标，再根据旋转的性质得到对应线段和角的关系，进而求出点$B'$的坐标。
1. 首先，过点$B$作$BN\perp x$轴，垂足为$N$，过点$B'$作$B'M\perp y$轴，垂足为$M$。
因为$BN\perp x$轴，$B'M\perp y$轴，所以$\angle B'MO = \angle BNO = 90^{\circ}$。
2. 已知$OA = AB = 5$，点$B$到$x$轴的距离为$4$，即$BN = 4$。
在$Rt\triangle ABN$中，根据勾股定理$AN=\sqrt{AB^{2}-BN^{2}}$，将$AB = 5$，$BN = 4$代入可得：$AN=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=3$。
因为$OA = 5$，$AN = 3$，所以$ON=OA + AN=5 + 3 = 8$。
3. 因为将$\triangle OAB$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle OA'B'$。
根据旋转的性质可知$OB = OB'$，$\angle BOA=\angle B'OA'$。
在$\triangle NOB$和$\triangle MOB'$中，$\angle BNO=\angle B'MO$，$\angle BON=\angle B'OM$，$OB = OB'$，所以$\triangle NOB\cong\triangle MOB'(AAS)$。
4. 由全等三角形的性质可得$OM = ON = 8$，$B'M = BN = 4$。
因为点$B'$在第二象限，第二象限内点的坐标特征是横坐标为负，纵坐标为正，所以点$B'$的坐标为$(-4,8)$。
【答案】：$(-4,8)$

专题3 分类讨论思想
【专题解读】分类讨论思想在数学中应用广泛,如本章中已知点到坐标轴的距离求坐标,已知三角形的面积求坐标等,由于结论的不确定或不唯一,在解答这类问题时就应该对其可能的情况进行分类讨论。
例3
如图4-2,A(1,0),点B在y轴上,将△OAB沿x轴负方向平移,平移后的图形为△DEC,且点C的坐标为(-3,2)。
num= 图4-2
(1)直接写出点E的坐标 (-2,0)。
(2)在四边形ABCD中,点P从点B出发,沿"BC→CD"移动。若点P的速度为每秒1个单位长度,运动时间为ts,回答下列问题:
①当t=2s时,点P的横坐标与纵坐标互为相反数。
②求点P在运动过程中的坐标(用含t的式子表示,写出过程)。
③当3＜t＜5时,设∠CBP= x°,∠PAD= y°,∠BPA= z°,试问x,y,z之间的数量关系能否确定?若能,请用含x,y的式子表示z,写出推理过程;若不能,说明理由。
 

②当点P在线段BC上时，点P移动的距离为t，所以点P的横坐标为-t，纵坐标为2，即P(-t,2)；当点P在线段CD上时，点P移动的距离为t，BC的长度为3，所以点P的横坐标为-3，纵坐标为5 - t，即P(-3,5 - t)。③能确定。过点P作PF// BC交AB于点F，因为AD// BC，所以PF// AD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1 = ∠CBP = x°，∠2 = ∠DAP = y°，所以∠BPA = ∠1 + ∠2 = x° + y° = z°，即z = x + y。

答案： 【解析】：本题主要考查了平移变换、点的坐标、动点问题以及平行线的性质。
（1）因为点$A(1,0)$，将$\triangle OAB$沿$x$轴负方向平移，平移后的图形为$\triangle DEC$，且点$C$的坐标为$(-3,2)$，所以平移的距离为$1-(-3)=4$个单位长度，则点$E$的坐标为$(-2,0)$。
（2）①因为点$C$的坐标为$(-3,2)$，所以$BC = 3$，$CD = 2$。当点$P$的横坐标与纵坐标互为相反数时，点$P$在线段$BC$上，此时点$P$的纵坐标为$2$，横坐标为$-2$，所以点$P$移动的距离为$2$，即$t = 2÷1 = 2s$。
②当点$P$在线段$BC$上时，点$P$移动的距离为$t$，所以点$P$的横坐标为$-t$，纵坐标为$2$，即$P(-t,2)$；当点$P$在线段$CD$上时，点$P$移动的距离为$t$，$BC$的长度为$3$，所以点$P$的横坐标为$-3$，纵坐标为$5 - t$，即$P(-3,5 - t)$。
③能确定。过点$P$作$PF// BC$交$AB$于点$F$，因为$AD// BC$，所以$PF// AD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle1 = \angle CBP = x^{\circ}$，$\angle2 = \angle DAP = y^{\circ}$，所以$\angle BPA = \angle1 + \angle2 = x^{\circ} + y^{\circ} = z^{\circ}$，即$z = x + y$。
【答案】：（1）$(-2,0)$；（2）①$2$；②当点$P$在线段$BC$上时，点$P$的坐标为$(-t,2)$，当点$P$在线段$CD$上时，点$P$的坐标为$(-3,5 - t)$；③能确定，$z = x + y$。