《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1
若$\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x+7}= 0$,求-4x的立方根。
 

答案： 【解析】：
本题可根据立方根的性质来求解$x$的值，进而求出$-4x$的立方根。
已知$\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt[3]{x + 7} = 0$，根据立方根的性质：若$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=0$，则$a + b = 0$（因为立方根函数$y = \sqrt[3]{x}$是奇函数，其图象关于原点对称，若两个立方根互为相反数，则它们对应的原数也互为相反数），所以可得$2x - 1 + x + 7 = 0$。
接下来求解上述关于$x$的一元一次方程：
对$2x - 1 + x + 7 = 0$进行合并同类项，可得$3x + 6 = 0$。
移项可得$3x = -6$。
两边同时除以$3$，解得$x = -2$。
将$x = -2$代入$-4x$，可得$-4x = -4×(-2)= 8$。
最后求$8$的立方根，根据立方根的定义，若$a^3 = b$，则$a$是$b$的立方根，因为$2^3 = 8$，所以$8$的立方根是$\sqrt[3]{8}= 2$。
【答案】：
解：因为$\sqrt[3]{2x - 1} + \sqrt[3]{x + 7} = 0$，所以$2x - 1 + x + 7 = 0$。
合并同类项得$3x + 6 = 0$，
移项得$3x = -6$，
解得$x = -2$。
所以$-4x = -4×(-2)= 8$，
所以$-4x$的立方根是$\sqrt[3]{8}= 2$。

例2
解方程$^{\circ}$
(1)$27x^{3}+64= 0$；(2)$2(x-1)^{3}= -\frac{125}{4}$。
 

答案： 【解析】：
本题考查了立方根的应用以及方程求解的知识点。
对于第一个方程$27x^{3} + 64 = 0$，需要先将其转化为$x^3$的形式，然后开立方求解。
对于第二个方程$2(x-1)^{3} = -\frac{125}{4}$，需要先将其转化为$(x-1)^3$的形式，然后开立方求解。
接下来，我们按照这两个步骤来详细解答。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $27x^{3} + 64 = 0$，
移项得 $27x^{3} = -64$，
两边同时除以27，得 $x^{3} = -\frac{64}{27}$，
开立方得 $x = -\frac{4}{3}$。
(2) 解：
原方程为 $2(x-1)^{3} = -\frac{125}{4}$，
两边同时除以2，得 $(x-1)^{3} = -\frac{125}{8}$，
开立方得 $x-1 = -\frac{5}{2}$，
移项得 $x = -\frac{5}{2} + 1 = -\frac{3}{2}$。

例3已知某正数的两个不同的平方根昰3a-14和a+z；b+4的立方根为-2；c是4 的算术平方根。
(1)求a+b+c的值；
(2)求3a-b+2c的平方根。
 

答案： 【解析】：
本题主要考察平方根，立方根以及算术平方根的定义和性质。
(1) 首先，由于一个正数的两个平方根互为相反数，所以有 $3a - 14 + a + 2 = 0$，
解这个方程，得到 $4a = 12$，从而 $a = 3$；
接着，由于 $b + 4$ 的立方根是 $-2$，根据立方根的定义，有 $b + 4 = (-2)^3 = -8$，解这个方程，得到 $b = -12$；
最后，由于 $c$ 是 $\sqrt{4}$ 的算术平方根，所以 $c = 2$（注意这里 $c$ 是算术平方根，所以取正值）；
将 $a, b, c$ 的值代入 $a + b + c$，得到 $3 + (-12) + 2 = -7$。
(2) 已知 $a = 3, b = -12, c = 2$，代入 $3a - b + 2c$，得到 $3 × 3 - (-12) + 2 × 2 = 25$，
所以 $3a - b + 2c$ 的平方根是 $\pm \sqrt{25} = \pm 5$。
【答案】：
(1) $a + b + c = -7$；
(2) $3a - b + 2c$ 的平方根是 $\pm 5$。

若$\sqrt[3]{x-3}-\sqrt[3]{2x+1}= 0$,则$x^{2}+x-3$平方根为(C)。
A.3
B.-3
C.3和-3
D.2和-2

答案： C 【解析】由题意知x-3=2x+1,解得x=-4,所以x²+x-3=16-4-3=9,所以±√9=±3。

变式2 见答案P170
解方程。
$\frac{1}{5}(2x+3)^{3}= 25$。

答案： 解:因为1/5(2x+3)³=25,所以(2x+3)³=125,所以2x+3=5,解得x=1。

变式3 见答案P170
解决以下问题：
(1)若$\sqrt{2x-1}$的平方根是±2,$2x+y+1$的算术平方根是5,求$2x-3y+18$的立方根；
(2)若$\sqrt{2a+b}与\sqrt{c-b}$互为相反数,$\sqrt[3]{1-3b}与\sqrt[3]{b+1}$互为相反数,求a,b,c的值。

答案：
(1)根据题意得2x-1=16,2x+y+1=25,则2x=17,y=7,所以2x-3y+18=17-3×7+18=14,所以2x-3y+18的立方根是√[3]{14}。
(2)因为√(2a+b)与√(c-b)互为相反数,√[3]{1-3b}与√[3]{b+1}互为相反数,所以2a+b=0,c-b=0,1-3b+b+1=0,解得a=-1/2,b=1,c=1。