《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
如图4-2-2,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中"→"方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),…,根据这个规律探索可得第2021个点的坐标为 (64, 4)。

 

答案： 【解析】：
首先，观察图形中点的排列规律。
可以看到，第$n$列有$n$个点，且横坐标均为$n$。
例如，第一列有一个点$(1,0)$，第二列有两个点$(2,0)$，$(2,1)$，第三列有三个点$(3,0)$，$(3,1)$，$(3,2)$，以此类推。
接下来，计算前$n$列总共有多少个点。
这是一个等差数列的求和问题，前$n$列的总点数为：
$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
为了找到第2021个点所在的列数，设置等式：
$\frac{n(n + 1)}{2} = 2021$
但由于直接求解这个二次方程较为复杂，可以通过试探法找到最接近2021且小于2021的$n(n+1)/2$的值。
通过试探，当$n=63$时，
$\frac{63 × 64}{2} = 2016$
这是小于2021的最大的$n(n+1)/2$的值。
因此，第2021个点位于第64列。
在第64列中，由于奇数列的点是从上到下排列的，而偶数列的点是从下到上排列的，需要确定第2021个点在第64列中的具体位置。
由于第63列结束时总共有2016个点，所以第2021个点是第64列中的第$2021 - 2016 = 5$个点。
在第64列中，从下到上数，第5个点的纵坐标为4（因为该列的点纵坐标从0开始递增到63，然后再递减，但由于是偶数列，我们从下往上数，所以第5个点的纵坐标是4）。
因此，第2021个点的坐标为$(64, 4)$。
【答案】：
$(64, 4)$

如图4-2-4, 在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动一个单位长度,依次得到点$P_1(0,1),P_2(1,1),P_3(1,0),P_4(1,-1),P_5(2,-1),P_6(2,0),…,$则点$P_2₀_1_9$的坐标是(673,0)。

答案： (673,0)【解析】由P₃,P₆,P₉可得规律:当下标为3的整数倍时,横坐标为$\frac{n}{3}$,纵坐标为0,因为2019÷3=673,所以点P₂₀₁₉的坐标是(673,0)。

例1 2024·淄博中考如图4-2-5,已知A,B两点°的坐标分别为A(-3,1),B(-1,3),将线段AB平移得到线段CD,若点A的对应点是C(1,2),则点B的对应点D的坐标是 (3,4)。
num= 图4-[2]-5
 

答案： 解：
∵点A(-3,1)的对应点是C(1,2)，
∴平移规律为向右平移1 - (-3) = 4个单位，向上平移2 - 1 = 1个单位，
∵点B的坐标为(-1,3)，
∴点D的坐标为(-1 + 4, 3 + 1) = (3,4)。
答：(3,4)