《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
如图1-26①,AB= 4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC= BD= 3cm。点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为ts。
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t= 1时,△ACP与△BPQ是否全等?并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系。
(2)如图1-26②,将图1-26①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB= ∠DBA= 60°”,其他条件不变,设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与以点B,P,Q为顶点的三角形全等?若存在,求出相应的x,t的值,若不存在,请说明理由。

 

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及速度、时间与路程之间的关系。
(1) 当$t = 1$时，
根据速度、时间与路程的关系$s = vt$（$s$表示路程，$v$表示速度，$t$表示时间），因为点$P$、$Q$速度都为$1cm/s$，所以$AP = BQ = 1×1 = 1cm$。
又已知$AB = 4cm$，则$BP = AB - AP = 4 - 1 = 3cm$，且$AC = 3cm$，$BD = 3cm$，所以$AC = BP$，$BQ = AP$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中，$\begin{cases}AP = BQ\\\angle A = \angle B = 90^{\circ}\\AC = BP\end{cases}$，根据全等三角形判定定理$SAS$（边角边），可得$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$。
由全等三角形的性质可知$\angle ACP = \angle BPQ$，在$\triangle ACP$中$\angle APC + \angle ACP = 90^{\circ}$，所以$\angle APC + \angle BPQ = 90^{\circ}$，则$\angle CPQ = 180^{\circ}-(\angle APC + \angle BPQ)= 90^{\circ}$，即线段$PC$和线段$PQ$垂直。
(2) 因为$\angle CAB = \angle DBA = 60^{\circ}$，要使$\triangle ACP$与以点$B$，$P$，$Q$为顶点的三角形全等，存在两种情况：
情况一：$\triangle ACP\cong\triangle BPQ$，则$AC = BP$，$AP = BQ$。
已知$AC = 3cm$，$AB = 4cm$，$AP = t cm$，$BQ = xt cm$，所以$\begin{cases}3 = 4 - t\\t = xt\end{cases}$，
由$3 = 4 - t$可得$t = 4 - 3 = 1$，将$t = 1$代入$t = xt$，得$1 = x×1$，解得$x = 1$。
情况二：$\triangle ACP\cong\triangle BQP$，则$AC = BQ$，$AP = BP$。
所以$\begin{cases}3 = xt\\t = 4 - t\end{cases}$，
由$t = 4 - t$可得$2t = 4$，即$t = 2$，将$t = 2$代入$3 = xt$，得$3 = x×2$，解得$x = \frac{3}{2}$。
【答案】：
(1)$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等，此时线段$PC$和线段$PQ$垂直；
(2)存在，$\begin{cases}t = 1\\x = 1\end{cases}$或$\begin{cases}t = 2\\x = \frac{3}{2}\end{cases}$。