《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2
在下列各数$-3.21,\sqrt{21},5,\sqrt{\frac{1}{9}},\frac{3}{7},-π,-\sqrt[3]{4},0,2.\dot{4},121121112$中:
整数有:5,0,121121112;
有理数有:$-3.21,5,\sqrt{\frac{1}{9}},\frac{3}{7},0,2.\dot{4},121121112$;
无理数有:$\sqrt{21},-π,-\sqrt[3]{4}$;
负实数有:$-3.21,-π,-\sqrt[3]{4}$。

答案： 解：整数有：5,0,121121112；
有理数有：$-3.21,5,\sqrt{\frac{1}{9}},\frac{3}{7},0,2.\dot{4},121121112$；
无理数有：$\sqrt{21},-π,-\sqrt[3]{4}$；
负实数有：$-3.21,-π,-\sqrt[3]{4}$。

例3
如图2-3-1是王老师讲解“实数”时所画的图,即“以数轴的单位长度1”为边长作一个正方形,然后以O为圆心,以正方形的对角线的长为半径画弧,交数轴于点A,作这样的图是用来说明(D)。

A.无理数是存在的
B.实数是存在的
C.有理数可以在数轴上表示出来
D.无理数可以在数轴上表示出来
 

答案： 【解析】：本题可根据实数与数轴的关系，结合题目中所给的图形来分析其意图。
步骤一：分析图形
已知以数轴的单位长度$1$为边长作一个正方形，根据勾股定理，正方形的对角线长度的平方等于两条边长度平方的和。
因为正方形边长为$1$，所以对角线长度$l$满足$l^{2}=1^{2} + 1^{2}=2$，则对角线长为$\sqrt{2}$。
以$O$为圆心，以正方形的对角线的长$\sqrt{2}$为半径画弧，交数轴于点$A$，那么$OA=\sqrt{2}$，点$A$在数轴上表示的数为$\sqrt{2}$。
步骤二：分析各选项
选项A：虽然通过此图可以得到无理数$\sqrt{2}$，但该图主要强调的是在数轴上表示出无理数，而不是单纯说明无理数存在，所以A选项不准确。
选项B：此图只是通过无理数$\sqrt{2}$在数轴上的表示来体现实数与数轴的关系，重点不是说明实数存在，B选项不符合题意。
选项C：图中表示的是无理数$\sqrt{2}$在数轴上的位置，并非有理数，C选项错误。
选项D：由前面的分析可知，该图通过构造正方形对角线得到无理数$\sqrt{2}$，并在数轴上表示出来，说明无理数可以在数轴上表示出来，D选项正确。
【答案】：D