《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例3-1
如图1-10,在△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,且DE= CD,EF= AC,求证:EF//AB。

 

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定。
首先通过作辅助线$EG// AC$，利用平行线的性质得到角相等关系，再结合已知条件$DE = CD$，利用$ASA$判定定理证明$\triangle DEG\cong\triangle DCA$，从而得到$GE = AC$，$\angle G=\angle CAD$。
又因为$EF = AC$，所以$EG = EF$，进而得到$\angle G=\angle EFD$。
再根据角平分线的性质得到$\angle BAD=\angle CAD$，最后通过等量代换得到$\angle EFD=\angle BAD$，利用内错角相等，两直线平行证明$EF// AB$。
【答案】：证明：
过点$E$作$EG// AC$交$AD$的延长线于点$G$，
所以$\angle DEG=\angle DCA$。
在$\triangle DEG$和$\triangle DCA$中，
$\begin{cases}\angle GDE=\angle ADC\\DE = DC\\\angle DEG=\angle DCA\end{cases}$
所以$\triangle DEG\cong\triangle DCA(ASA)$。
所以$GE = AC$，$\angle G=\angle CAD$。
又$EF = AC$，所以$EG = EF$，
所以$\angle G=\angle EFD$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
所以$\angle EFD=\angle BAD$，所以$EF// AB$。

例3-2
如图1-12,在Rt△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,BD是∠ABC的平分线,CE⊥BD,交BD的延长线于点E,求证:BD= 2CE。

 

答案： 证明：延长BA，CE交于点F，
因为BD平分∠ABC，所以∠1=∠2。
因为BE⊥CF，所以∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中，{∠1=∠2, BE=BE, ∠BEF=∠BEC,
所以△BEF≌△BEC(ASA)，
所以CE=EF，所以CF=2CE。
因为∠BAC=90°，AB=AC，所以∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
所以∠1=∠2=22.5°，
因为∠ADB+∠1+∠BAC=180°，∠F+∠2+∠BEF=180°，
所以∠ADB=∠F=67.5°。
在△ABD和△ACF中，{∠ADB=∠F, ∠DAB=∠FAC, AB=AC,
所以△ABD≌△ACF(AAS)，
所以BD=CF，所以BD=2CE。