《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例1 2023·济宁中考
如图3-2-7,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若$\angle CFB= \alpha$,则$\angle ABE$等于(C)。


A.$180^{\circ}-\alpha$
B.$180^{\circ}-2\alpha$
C.$90^{\circ}+\alpha$
D.$90^{\circ}+2\alpha$
 

答案： 【解析】：本题主要考查了平行线的性质、勾股定理的逆定理。
过点$B$作$BG// CD$，且$BG = CD$，连接$EG$。
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，因为$BG// CD$，所以$\angle ABG = \angle AFD$，又因为对顶角相等，$\angle AFD = \angle CFB$，已知$\angle CFB = \alpha$，所以$\angle ABG = \alpha$。
利用勾股定理的逆定理判断$\triangle BEG$的形状，通过计算$BG^{2}=1^{2}+4^{2}=17$，$BE^{2}=1^{2}+4^{2}=17$，$EG^{2}=3^{2}+5^{2}=34$，得到$BG^{2}+BE^{2}=EG^{2}$，满足勾股定理的逆定理，所以$\triangle BEG$是直角三角形，且$\angle GBE = 90^{\circ}$。
最后求$\angle ABE$，$\angle ABE=\angle GBE+\angle ABG = 90^{\circ}+\alpha$。
【答案】：C