《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

求一个非负数的平方根的运算就是开平方运算,开平方与平方是互逆的运算,我们可以利用平方运算去求一个非负数的平方根。例如求4的平方根可以这样进行:因为$(\pm2)^{2}= 4$,所以4平方根是$\pm2$,即$\pm\sqrt{4}= \pm2$。
例1
求下列各数的平方根及算术平方根。
(1)900;(2)$\frac{49}{64}$;(3)$1\frac{9}{16}$。
 

答案： 解：
(1)因为$(\pm30)^{2}=900$，所以900的平方根是$\pm30$，算术平方根是30。
(2)因为$(\pm\frac{7}{8})^{2}=\frac{49}{64}$，所以$\frac{49}{64}$的平方根是$\pm\frac{7}{8}$，算术平方根是$\frac{7}{8}$。
(3)因为$1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，$(\pm\frac{5}{4})^{2}=\frac{25}{16}$，所以$1\frac{9}{16}$的平方根是$\pm\frac{5}{4}$，算术平方根是$\frac{5}{4}$。

一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,因为互为相反数的两个数的和为零,所以如果知道一个正数的两个平方根(含参数),可以令它们的和为零,从而构造方程求参数的值。
例2
(1)已知$2a-1的平方根是\pm3$,$3a+b-1的平方根是\pm4$,求$a+2b$的平方根;
(2)若$2a-4与3a+1$是同一个正数的平方根,求a的值。
 

答案：
(1)解：依题意，得$2a - 1 = 9$，解得$a = 5$；$3a + b - 1 = 16$，将$a = 5$代入，得$15 + b - 1 = 16$，解得$b = 2$。则$a + 2b = 5 + 4 = 9$，所以$a + 2b$的平方根是$\pm 3$。
(2)解：因为$2a - 4$与$3a + 1$是同一个正数的平方根，所以$2a - 4 + 3a + 1 = 0$或$2a - 4 = 3a + 1$。当$2a - 4 + 3a + 1 = 0$时，$5a - 3 = 0$，解得$a = \frac{3}{5}$；当$2a - 4 = 3a + 1$时，解得$a = -5$。综上，$a$的值为$\frac{3}{5}$或$-5$。

变式1 见答案P169
计算下列各题。
(1)$\sqrt{1.21}$;(2)$\sqrt{1\frac{24}{25}}$;(3)$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$。

答案： 解:
(1)$\sqrt{1.21}=1.1$。
(2)$\sqrt{1\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$。
(3)$\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{9}=3$。

若$\sqrt{a-1}= 2$,正数b的两个平方根分别是$2c-1和-c+2$,则$2a+b+c$的平方根为$\pm 3\sqrt{2}$。

答案： $\pm 3\sqrt{2}$