《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:$a= \frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})$,$b= mn$,$c= \frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})$,其中$m＞n＞0$,m,n是互质的奇数。下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C)。
A.3,4,5
B.5,12,13
C.6,8,10
D.7,24,25
 

答案： 【解析】：
本题主要考察勾股定理的逆定理以及代数运算能力。
首先，明确题目中给出的勾股数计算公式：
$a = \frac{1}{2}(m^2 - n^2)$
$b = mn$
$c = \frac{1}{2}(m^2 + n^2)$
其中 $m ＞ n ＞ 0$，且 $m$ 和 $n$ 是互质的奇数。
接下来，将选项中的勾股数分别代入上述公式进行验证。
对于选项A（3，4，5）：
当 $m = 3, n = 1$ 时，
$a = \frac{1}{2}(3^2 - 1^2) = 4$
$b = 3 × 1 = 3$
$c = \frac{1}{2}(3^2 + 1^2) = 5$
与选项A中的勾股数一致，故A不符合题意。
对于选项B（5，12，13）：
当 $m = 5, n = 1$ 时，
$a = \frac{1}{2}(5^2 - 1^2) = 12$
$b = 5 × 1 = 5$
$c = \frac{1}{2}(5^2 + 1^2) = 13$
与选项B中的勾股数一致，故B不符合题意。
对于选项C（6，8，10）：
尝试不同的 $m$ 和 $n$ 组合，发现无法满足 $a = 6, b = 8, c = 10$。
因此，C符合题意。
对于选项D（7，24，25）：
当 $m = 7, n = 1$ 时，
$a = \frac{1}{2}(7^2 - 1^2) = 24$
$b = 7 × 1 = 7$
$c = \frac{1}{2}(7^2 + 1^2) = 25$
与选项D中的勾股数一致，故D不符合题意。
综上所述，只有选项C不能由给定的勾股数计算公式直接得出。
【答案】：
C

1.(2025·海安月考·知识点1)已知a,b,c分别为$\triangle ABC$的三条边,下列条件中不能得出$\triangle ABC$为直角三角形的是(A)。
A.$\angle A:\angle B:\angle C= 3:4:5$
B.$c^{2}-a^{2}= b^{2}$
C.$\angle C-\angle B= \angle A$
D.$a:b:c= 2.5:6:6.5$

答案： A 【解析】$∠A:∠B:∠C=3:4:5$,$∠A+∠B+∠C=180^{\circ}$,可得$∠A=45^{\circ}$,$∠B=60^{\circ}$,$∠C=75^{\circ}$,所以△ABC 不是直角三角形,A 符合题意;$c^{2}-a^{2}=b^{2}$,即$c^{2}=b^{2}+a^{2}$,所以△ABC 是直角三角形,B 不符合题意;$∠C-∠B=∠A$,所以$∠C=∠B+∠A=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$,所以△ABC 是直角三角形,C 不符合题意;$a:b:c=2.5:6:6.5$,设$a=2.5x$,$b=6x$,$c=6.5x$,则$c^{2}=42.25x^{2}=b^{2}+a^{2}$,所以△ABC 是直角三角形,D 不符合题意。

2.(2025·邗江区期中·知识点2)在下列四组数中,属于勾股数的是(B)。
A.0.3,0.4,0.5
B.9,40,41
C.6,7,8
D.1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$

答案： B 【解析】0.3,0.4,0.5 不是正整数,所以不是勾股数,A 不符合题意;$9^{2}+40^{2}=41^{2}$,B 符合题意;$6^{2}+7^{2}≠8^{2}$,C 不符合题意;$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$不是正整数,所以不是勾股数,D 不符合题意。

3.(知识点1)如图3-2-9,在$\triangle ABC$中,AB= 5,AC= 13,BC边上的中线AD= 6,则$\triangle ABD$的面积是15。

答案： 15 【解析】延长 AD 到点 E,使得$AD=DE=6$,连接 BE(图略),易证$△BDE\cong △CDA$,则$BE=AC=13$。因为$5^{2}+12^{2}=13^{2}$,即$AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$,所以$∠BAE=90^{\circ}$,所以$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×5×6=15$。

4.(能力点1)如图3-2-10,在$\triangle ABC$中,AB= BC= CA= 4cm,点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA,AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为ts,当t= 2 或$\frac{16}{5}$时,$\triangle BPQ$是直角三角形。

答案： 2 或$\frac{16}{5}$ 【解析】若△BPQ 是直角三角形,则$∠BPQ=90^{\circ}$或$∠BQP=90^{\circ}$。①当$∠BPQ=90^{\circ}$时,Q 与 A 重合,$CQ=CA=4cm$,此时$t=4÷2=2$;②当$∠BQP=90^{\circ}$时,由题意可得△ABC 为等边三角形,所以$∠ABC=60^{\circ}$,所以$∠BPQ=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,所以$BQ=\frac{1}{2}BP$,即$8-2t=\frac{1}{2}t$,解得$t=\frac{16}{5}$,故当$t=2$或$t=\frac{16}{5}$时,△BPQ 是直角三角形。