《2025年教材完全解读八年级数学上册苏科版》

例2 2025·桑植县期末
如图1-3-2,CB⊥AD,AE⊥DC,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,且AB= BC。求证:△ABF≌△CBD。

 

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定定理中的“ASA”判定定理，即两个三角形中有两个角以及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等。在本题中，已知$CB\perp AD$，$AE\perp DC$，由此可推出$\angle ABF = \angle CBD = 90^{\circ}$，再结合直角三角形的性质得到$\angle A = \angle C$，又已知$AB = BC$，满足“ASA”判定定理的条件，从而证明$\triangle ABF\cong\triangle CBD$。
证明过程如下：
因为$CB\perp AD$，根据垂直的定义可知$\angle ABF = \angle CBD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$；在$Rt\triangle BCD$中，$\angle C + \angle D = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，所以$\angle A = \angle C$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}\angle A = \angle C \\ AB = BC \\ \angle ABF = \angle CBD\end{cases}$，根据“ASA”判定定理，可得$\triangle ABF\cong\triangle CBD$。
【答案】：
证明：
∵$CB\perp AD$，
∴$\angle ABF = \angle CBD = 90^{\circ}$。
∵$AE\perp DC$，
∴$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$，$\angle C + \angle D = 90^{\circ}$，
∴$\angle A = \angle C$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CBD$中，
$\begin{cases}\angle A = \angle C \\ AB = BC \\ \angle ABF = \angle CBD\end{cases}$
∴$\triangle ABF\cong\triangle CBD(ASA)$。

例3 2024·南充中考节选
如图1-3-3,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE//AC交AD的延长线于点E。求证:△BDE≌△CDA。
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答案： 【解析】：
本题考查全等三角形的判定定理中的“AAS”（两角及非夹边对应相等），通过已知条件点D为BC的中点，可以得出$BD = CD$，再由$BE// AC$，根据平行线的性质可以得出$\angle EBD = \angle C$，$\angle E=\angle CAD$，最后利用“AAS”定理证明$\triangle BDE\cong\triangle CDA$。
【答案】：
证明：
∵点D为BC的中点，
∴$BD = CD$。
∵$BE// AC$，
∴$\angle EBD=\angle C$，$\angle E = \angle CAD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle EBD=\angle C,\\\angle E=\angle CAD,\\BD = CD,\end{array}\right.$
∴$\triangle BDE\cong\triangle CDA(AAS)$。